Chứng minh \(\Delta \ge 0\forall m \in \mathbb{R}\) hoặc \(\Delta ‘ \ge 0\forall m \in \mathbb{R}\). b) Bước 1. Hướng dẫn cách giải/trả lời Giải bài 27 trang 71 sách bài tập toán 9 – Cánh diều tập 2 – Bài 3. Định lí Viète. Cho phương trình ({x^2} + 2left( {2m – 1} right)x – 4{m^2} – 1 = 0….
Đề bài/câu hỏi:
Cho phương trình \({x^2} + 2\left( {2m – 1} \right)x – 4{m^2} – 1 = 0.\)
a) Chứng tỏ rằng phương trình luôn có hai nghiệm \({x_1};{x_2}\)với mọi giá trị của m.
b) Tìm biểu thức liên hệ giữa hai nghiệm \({x_1};{x_2}\) không phụ thuộc vào giá trị của m.
Hướng dẫn:
a) Chứng minh \(\Delta \ge 0\forall m \in \mathbb{R}\) hoặc \(\Delta ‘ \ge 0\forall m \in \mathbb{R}\).
b) Bước 1: Áp dụng định lý Viète để tính \({x_1} + {x_2};{x_1}{x_2}\).
Bước 2: Biến đổi biểu thức để không chứa m nữa (có thể bình phương, nhân với một số,…).
Lời giải:
Phương trình có các hệ số \(a = 1;b = 2\left( {2m – 1} \right);c = – 4{m^2} – 1\), do đó \(b’ = \frac{b}{2} = 2m – 1\).
Ta có:
\(\Delta ‘ = {\left( {2m – 1} \right)^2} – 1.\left( { – 4{m^2} – 1} \right) \\= {\left( {2m – 1} \right)^2} + 4{m^2} + 1.\)
Do \({\left( {2m – 1} \right)^2} \ge 0;4{m^2} \ge 0;1 > 0\) nên \({\left( {2m – 1} \right)^2} + 4{m^2} + 1 > 0\) với mọi \( m \in \mathbb{R}\) hay \(\Delta ‘ \ge 0\) với mọi \(m \in \mathbb{R}\).
Vì \(\Delta ‘ \ge 0\) nên phương trình luôn có 2 nghiệm với mọi giá trị của m.
b) Vì phương trình luôn có 2 nghiệm nên áp dụng định lý Viète ta có:
\({x_1} + {x_2} = – 2\left( {2m – 1} \right);{x_1}.{x_2} = – 4{m^2} – 1.\)
Ta có:
\({\left( {{x_1} + {x_2} + 2} \right)^2} \\= {\left( { – 2\left( {2m – 1} \right) + 2} \right)^2} \\= 16{m^2} + 16\)
và \(4.{x_1}.{x_2} = 4\left( { – 4{m^2} – 1} \right) = – 16{m^2} – 4\)
Suy ra
\({\left( {{x_1} + {x_2} + 2} \right)^2} + 4.{x_1}.{x_2} \\= 16{m^2} + 16 – 16{m^2} – 4 = 12.\)
Vậy hệ thức cần tìm là \({\left( {{x_1} + {x_2} + 2} \right)^2} + 4.{x_1}.{x_2}\).