Trang chủ Lớp 9 Toán lớp 9 SBT Toán 9 - Cánh diều Bài 15 trang 111 SBT toán 9 – Cánh diều tập 2:...

Bài 15 trang 111 SBT toán 9 – Cánh diều tập 2: Cho hình vuông ABCD với tâm O. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm các cạnh AD, DC, CB, BA (Hình 15)

Chứng minh MN = MQ và MN ⊥ MQ để suy ra MNPQ là hình vuông Dựa vào phép quay thuận chiều \({\alpha ^o}\. Hướng dẫn giải Giải bài 15 trang 111 sách bài tập toán 9 – Cánh diều tập 2 – Bài 2. Phép quay. Cho hình vuông ABCD với tâm O. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm các cạnh AD,…

Đề bài/câu hỏi:

Cho hình vuông ABCD với tâm O. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm các cạnh AD, DC, CB, BA (Hình 15).

a) Chứng minh tứ giác MNPQ là hình vuông.

b) Phép quay ngược chiều 90° tâm O biến các điểm O, D, N tương ứng thành các điểm nào?

c) Chỉ ra các phép quay tâm O giữ nguyên hình vuông MNPQ.

Hướng dẫn:

Chứng minh MN = MQ và MN ⊥ MQ để suy ra MNPQ là hình vuông

Dựa vào phép quay thuận chiều \({\alpha ^o}\) (\({0^o} < {\alpha ^o} < {360^o}\)) tâm O giữ nguyên điểm O, biến điểm M (khác điểm O) thành điểm M’ thuộc đường tròn (O; OM) sao cho tia OM quay thuận chiều kim đồng hồ đến tia OM’ thì điểm M tạo nên cung MnM’ có số đo \({\alpha ^o}\).

Dựa vào phép quay thuận chiều \({\alpha ^o}\) (\({0^o} < {\alpha ^o} < {360^o}\)) tâm O được phát biểu tương tự như trên.

Lời giải:

a) Xét ∆ABC có Q, P lần lượt là trung điểm của AB, BC nên QP là đường trung bình của tam giác, do đó QP // AC và \(QP = \frac{1}{2}AC\).

Tương tự, ta có: MN là đường trung bình của tam giác ACD, do đó MN // AC và \(MN = \frac{1}{2}AC\).

Do đó MNPQ là hình bình hành.

Mặt khác, ta cũng chứng minh được MQ là đường trung bình của ∆ABD nên

\(MQ = \frac{1}{2}BD\).

Lại có ABCD là hình vuông nên AC = BD và AC ⊥ BD.

Suy ra MN = MQ và MN ⊥ MQ.

Khi đó hình bình hành MNPQ là hình vuông.

b) Phép quay ngược chiều 90° tâm O biến điểm O tương ứng thành chính nó.

Do ABCD là hình vuông tâm O nên OA = OB = OC = OD.

Theo câu a, ta có \(\widehat {AOD} = {90^o}\).

Do đó, tia OD quay ngược chiều 90° tâm O đến tia OA.

Tương tự, đối với hình vuông MNPQ ta cũng có ON = OM và \(\widehat {NOM} = {90^o}\)nên tia ON quay ngược chiều 90° tâm O đến tia OM.

Vậy phép quay ngược chiều 90° tâm O biến các điểm O, D, N tương ứng thành các điểm O, A, M.

c) Các phép quay tâm O giữ nguyên hình vuông MNPQ là các phép quay thuận chiều α° tâm O và các phép quay ngược chiều α° tâm O, với α° lần lượt nhận các giá trị:

α1° = 90°; α2° = 180°; α3° = 270°; α4° = 360°.