Áp dụng định lý Pythagore. Trả lời Giải bài 9.45 trang 111 SGK Toán 8 tập 2 – Kết nối tri thức – Bài tập cuối chương 9. Cho tam giác ABC có đường cao AH….
Đề bài/câu hỏi:
Cho tam giác ABC có đường cao AH. Biết AH=12cm, CH=9cm, BH=16cm. Lấy M, N lần lượt là trung điểm của AH, BH
a) Chứng minh rằng ABC là tam giác vuông tại A
b) Chứng minh rằng MN ⊥ AC và CM ⊥ AN
c) Tính diện tích tam giác AMN
Hướng dẫn:
Áp dụng định lý Pythagore
Lời giải:
a) Xét tam giác AHB vuông tại H, có:
\(A{H^2} + H{B^2} = A{B^2}\) (định lý Pythagore)
=> \(A{B^2} = {12^2} + {16^2}\)
=> AB=20cm
Tương tự, có: \(A{C^2} = A{H^2} + C{H^2}\) (áp dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông AHC)
=> \(A{C^2} = {12^2} + {9^2}\)
=> AC=15cm
Có BC=9+16=25
Trong tam giác ABC, nhận thấy \(A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\)
=> Tam giác ABC vuông tại A
b) Xét tam giác AHB có:
M là trung điểm của AH
B là trung điểm của BH
=> MN là đường trung bình của tam giác AHB
=> MN // AB
mà AB ⊥ AC (vì tam giác ABC vuông tại A)
=> MN ⊥ AC
Xét \(\Delta ACN\) có \(AH \bot CN\) (gt), \(MN \bot AC\) (cmt), \(AH \cap MN = M\). Vậy M là trực tâm của \(\Delta ACN\), do đó \(CM \bot AN\).
c) Ta có: \({S_{\Delta AMN}} = \frac{{AM.HN}}{2} = \frac{{\frac{{AH}}{2}.\frac{{BH}}{2}}}{2} = \frac{{AH.BH}}{8} = \frac{{12.16}}{8} = 24(c{m^2})\)