Định lí Thales Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và song song với cạnh thứ ba thì tạo ra một. Trả lời Giải bài 8 trang 51 SGK Toán 8 tập 2- Chân trời sáng tạo – Bài 1. Định lí Thalès trong tam giác. Cho hình thang…
Đề bài/câu hỏi:
Cho hình thang \(ABCD\left( {AB//CD} \right)\). Đường thẳng song song với \(AB\) cắt \(AD, BD, AC\) và \(BC\) theo thứ tự tại các điểm \(M, N, P, Q\).
Chứng minh rằng \(MN = PQ\).
Hướng dẫn:
– Định lí Thales
Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và song song với cạnh thứ ba thì tạo ra một tam giác mới có ba cạnh tương ứng tỉ lệ với ba cạnh của tam giác đã cho.
– Hệ quả của định lí Thales.
Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và song song với cạnh thứ ba thì tạo ra một tam giác mới có ba cạnh tương ứng tỉ lệ với ba cạnh của tam giác đã cho.
Lời giải:
Đường thẳng song song với \(AB\) cắt \(AD, BD, AC\) và \(BC\) theo thứ tự tại các điểm \(M,N,P,Q\) nên
\(PM//AB//CD;MN//AB//CD;NQ//AB//CD\).
– Xét tam giác \(BCD\) có \(QN//CD\) và \(QN\) cắt \(BD;BC\) lần lượt tại \(N;Q\).
Theo hệ quả của định lí Thales ta có:
\(\frac{{QN}}{{DC}} = \frac{{NB}}{{BD}} = \frac{{BQ}}{{BC}} \Rightarrow \frac{{QN}}{{DC}} = \frac{{NB}}{{BD}}\) (1)
– Xét tam giác \(ACD\) có \(PM//CD\) và \(PM\) cắt \(AD;AC\) lần lượt tại \(M;P\).
Theo hệ quả của định lí Thales ta có:
\(\frac{{PM}}{{DC}} = \frac{{PA}}{{AC}} = \frac{{AM}}{{AD}} \Rightarrow \frac{{PM}}{{DC}} = \frac{{AM}}{{AD}}\) (2)
– Xét tam giác \(DMN\) có \(AB//MN\). Theo định lí Thales ta có:
\(\frac{{AM}}{{AD}} = \frac{{NB}}{{BD}}\) (3)
Từ (1), (2), (3) ta có:
\(\frac{{AM}}{{AD}} = \frac{{NB}}{{BD}} = \frac{{QN}}{{DC}} = \frac{{PM}}{{DC}} \Rightarrow \frac{{QN}}{{DC}} = \frac{{PM}}{{DC}} \Rightarrow QN = PM\)
Ta có:
\(QN + MQ = PM + MQ \Rightarrow MN = PQ\) (điều phải chứng minh).