Sử dụng kiến thức cộng (trừ) các phân thức khác mẫu để cộng (trừ) phân thức. Gợi ý giải Giải bài 6.41 trang 15 sách bài tập toán 8 – Kết nối tri thức với cuộc sống – Bài tập cuối Chương 6. Rút gọn biểu thức \(P = \frac{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}{x}….
Đề bài/câu hỏi:
a) Rút gọn biểu thức \(P = \frac{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}{x}.\left( {1 – \frac{{{x^2}}}{{x + 2}}} \right) – \frac{{{x^2} + 6x + 4}}{x}\)
b) Tìm giá trị lớn nhất của P.
Hướng dẫn:
a) + Sử dụng kiến thức cộng (trừ) các phân thức khác mẫu để cộng (trừ) phân thức: Quy đồng mẫu thức rồi cộng (trừ) các phân thức cùng mẫu vừa tìm được.
+ Sử dụng kiến thức nhân hai phân thức để thực hiện phép tính: Nhân các tử thức với nhau và nhân các mẫu thức với nhau: \(\frac{A}{B}.\frac{C}{D} = \frac{{A.C}}{{B.D}}\)
b) Sử dụng kiến thức tìm giá trị lớn nhất để tìm giá trị lớn nhất của P: Đưa P về dạng: \(P \le m\) (với m là hằng số) thì P đạt giá trị lớn nhất là m.
Lời giải:
a) Điều kiện xác định: \(x \ne 0;x \ne – 2\)
\(P = \frac{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}{x}.\left( {1 – \frac{{{x^2}}}{{x + 2}}} \right) – \frac{{{x^2} + 6x + 4}}{x}\)\( = \frac{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}{x}.\left( {\frac{{x + 2}}{{x + 2}} – \frac{{{x^2}}}{{x + 2}}} \right) – \frac{{{x^2} + 6x + 4}}{x}\)
\( = \frac{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}{x}.\frac{{x + 2 – {x^2}}}{{x + 2}} – \frac{{{x^2} + 6x + 4}}{x}\)\( = \frac{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}{x}.\frac{{ – \left( {x + 1} \right)\left( {x – 2} \right)}}{{x + 2}} – \frac{{{x^2} + 6x + 4}}{x}\)
\( = \frac{{ – \left( {x + 1} \right)\left( {x – 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}{x} – \frac{{{x^2} + 6x + 4}}{x} = \frac{{ – \left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} – 4} \right) – {x^2} – 6x – 4}}{x}\)
\( = \frac{{ – {x^3} – {x^2} + 4x + 4 – {x^2} – 6x – 4}}{x} = \frac{{ – {x^3} – 2{x^2} – 2x}}{x}\)\( = \frac{{ – x\left( {{x^2} + 2x + 2} \right)}}{x} = – {x^2} – 2x – 2\)
b) Ta có: \(P = – {x^2} – 2x – 2 = – \left( {{x^2} + 2x + 1} \right) – 1 = – {\left( {x + 1} \right)^2} – 1 \le – 1.\)
Dấu “=” xảy ra khi \(x + 1 = 0\) hay \(x = – 1\)
Vậy giá trị lớn nhất của P là -1 tại \(x = – 1\)