Sử dụng dấu hiệu nhận biết hình vuông để chứng minh: Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau là hình vuông. Hướng dẫn giải Giải bài 3.27 trang 42 sách bài tập toán 8 – Kết nối tri thức với cuộc sống – Bài 14. Hình thoi và hình vuông. Xét tam giác ABC vuông cân tại A. Lấy trên cạnh BC hai điểm D,…
Đề bài/câu hỏi:
Xét tam giác ABC vuông cân tại A. Lấy trên cạnh BC hai điểm D, E sao cho \(BD = DE = EC\). Lấy các điểm F, G lần lượt thuộc cạnh AC, AB sao cho FE, GD vuông góc với BC. Chứng minh tứ giác DEFG là một hình vuông.
Hướng dẫn:
Sử dụng dấu hiệu nhận biết hình vuông để chứng minh: Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau là hình vuông.
Lời giải:
Vì \(\Delta \)ABC vuông cân tại A nên \(\widehat B = \widehat C = {45^0}\), \(AB = AC\)
Vì \(GD \bot BC\) nên \(\widehat {GDB} = \widehat {GDE} = {90^0}\)
Vì \(FE \bot BC\) nên \(\widehat {FED} = \widehat {FEC} = {90^0}\)
Tam giác BDG có: \(\widehat {GDB} = {90^0},\widehat B = {45^0}\) nên tam giác GBD vuông cân tại D, do đó, \(\widehat {BGD} = {45^0}\) và \(BD = GD\)
Mà \(BD = DE\) nên \(GD = DE\)
Tam giác GBD và tam giác FCE có:
\(\widehat {GDB} = \widehat {FEC} = {90^0},\widehat B = \widehat C = {45^0},BD = EC\)
Do đó, \(\Delta GDB = \Delta FEC\left( {cgv – gn} \right)\), suy ra \(BG = FC\)
Mà \(AB = AC\) (cmt) nên \(AB – BG = AC – FC\), suy ra \(GA = FA\)
Tam giác GAF vuông tại A có \(GA = FA\) nên tam giác GAF vuông cân tại A. Do đó, \(\widehat {FGA} = {45^0}\)
Ta có: \(\widehat {FGA} + \widehat {FGD} + \widehat {DGB} = {180^0}\)
\({45^0} + \widehat {FGD} + {45^0} = {180^0}\), suy ra \(\widehat {FGD} = {90^0}\)
Tứ giác GDEF có: \(\widehat {GDE} + \widehat {FED} + \widehat {FGD} + \widehat {GFE} = {360^0}\)
Nên \(\widehat {GFE} = {90^0}\)
Tứ giác DEFG có: \(\widehat {GDE} = \widehat {FED} = \widehat {FGD} = \widehat {GFE} = {90^0}\) nên DEFG là hình chữ nhật, mà \(GD = DE\) nên DEFG là hình vuông.