Bài 15 trang 27 SBT toán 8 – Chân trời sáng tạo: Tính: a) a + 1 + 1 – 2a^2/a – 1 : 1 – 1/1 – a ; b) a/b^2 – 1/a : 1/b + 1/a

Đề bài/câu hỏi:

Tính:

a) \(\left( {a + 1 + \frac{{1 – 2{a^2}}}{{a – 1}}} \right):\left( {1 – \frac{1}{{1 – a}}} \right)\);

b) \(\left( {\frac{a}{{{b^2}}} – \frac{1}{a}} \right):\left( {\frac{1}{b} + \frac{1}{a}} \right)\);

c) \(\left( {a – \frac{{4ab}}{{a + b}} + b} \right).\left( {a + \frac{{4ab}}{{a – b}} – b} \right)\);

d) \(ab + \frac{{ab}}{{a + b}}\left( {\frac{{a + b}}{{a – b}} – a – b} \right)\).

Hướng dẫn:

– Sử dụng kiến thức cộng, trừ hai phân thức khác mẫu thức để tính: Muốn cộng, trừ hai phân thức khác mẫu, ta thực hiện các bước:

+ Quy đồng mẫu thức;

+ Cộng, trừ các phân thức có cùng mẫu vừa tìm được.

– Sử dụng kiến thức nhân hai phân thức để tính: Muốn nhân hai phân thức, ta nhân các tử thức với nhau, các mẫu thức với nhau: \(\frac{A}{B}.\frac{C}{D} = \frac{{A.C}}{{B.D}}\)

– Sử dụng kiến thức chia hai phân thức để tính: Muốn chia phân thức \(\frac{A}{B}\) cho phân thức \(\frac{C}{D}\) (C khác đa thức không), ta nhân phân thức \(\frac{A}{B}\) với phân thức \(\frac{D}{C}\): \(\frac{A}{B}:\frac{C}{D} = \frac{A}{B}.\frac{D}{C}\)

Lời giải:

a) \(\left( {a + 1 + \frac{{1 – 2{a^2}}}{{a – 1}}} \right):\left( {1 – \frac{1}{{1 – a}}} \right) = \frac{{\left( {a + 1} \right)\left( {a – 1} \right) + 1 – 2{a^2}}}{{a – 1}}:\frac{{1 – a – 1}}{{1 – a}}\)

\( = \frac{{{a^2} – 1 + 1 – 2{a^2}}}{{a – 1}}.\frac{{a – 1}}{a} = \frac{{ – {a^2}\left( {a – 1} \right)}}{{a\left( {a – 1} \right)}} = – a\)

b) \(\left( {\frac{a}{{{b^2}}} – \frac{1}{a}} \right):\left( {\frac{1}{b} + \frac{1}{a}} \right) = \frac{{{a^2} – {b^2}}}{{a{b^2}}}:\frac{{a + b}}{{ab}} = \frac{{\left( {a – b} \right)\left( {a + b} \right)ab}}{{a{b^2}\left( {a + b} \right)}} = \frac{{a – b}}{b}\)

c) \(\left( {a – \frac{{4ab}}{{a + b}} + b} \right).\left( {a + \frac{{4ab}}{{a – b}} – b} \right) = \frac{{\left( {a + b} \right)\left( {a + b} \right) – 4ab}}{{a + b}}.\frac{{\left( {a – b} \right)\left( {a – b} \right) + 4ab}}{{a – b}}\)

\( = \frac{{{a^2} + 2ab + {b^2} – 4ab}}{{a + b}}.\frac{{{a^2} – 2ab + {b^2} + 4ab}}{{a – b}} = \frac{{{a^2} – 2ab + {b^2}}}{{a + b}}.\frac{{{a^2} + 2ab + {b^2}}}{{a – b}}\)

\( = \frac{{{{\left( {a – b} \right)}^2}{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{{\left( {a + b} \right)\left( {a – b} \right)}} = \left( {a + b} \right)\left( {a – b} \right) = {a^2} – {b^2}\)

d) \(ab + \frac{{ab}}{{a + b}}\left( {\frac{{a + b}}{{a – b}} – a – b} \right) = ab + \frac{{ab}}{{a + b}}.\frac{{a + b – \left( {a – b} \right)\left( {a + b} \right)}}{{a – b}}\)

\( = ab + \frac{{ab}}{{a + b}}.\frac{{\left( {a + b} \right)\left( {1 – a + b} \right)}}{{a – b}} = ab + \frac{{ab\left( {1 – a + b} \right)}}{{a – b}} = \frac{{ab\left( {a – b} \right) + ab – {a^2}b + a{b^2}}}{{a – b}}\)

\( = \frac{{{a^2}b – a{b^2} + ab – {a^2}b + a{b^2}}}{{a – b}} = \frac{{\left( {{a^2}b – {a^2}b} \right) + \left( {a{b^2} – a{b^2}} \right) + ab}}{{a – b}} = \frac{{ab}}{{a – b}}\)