Thu gọn đa thức sau đó chứng minh \(G\) luôn nhận giá triij nguyên tại mọi số nguyên \(x\). Trả lời Giải bài 7 trang 8 sách bài tập toán 8 – Cánh diều – Bài 1. Đơn thức nhiều biến. Đa thức nhiều biến. Cho đa thức (G = frac{1}{2}{x^2} + bx + 23) với (b)…
Đề bài/câu hỏi:
Cho đa thức \(G = \frac{1}{2}{x^2} + bx + 23\) với \(b\) là một số cho trước sao cho \(\frac{1}{2} + b\) là số nguyên. Chứng tỏ rằng: \(G\) luôn nhận giá trị nguyên tại mọi số nguyên \(x\).
Hướng dẫn:
Thu gọn đa thức sau đó chứng minh \(G\) luôn nhận giá triij nguyên tại mọi số nguyên \(x\).
Lời giải:
Ta có:
\(\begin{array}{l}G = \frac{1}{2}{x^2} + bx + 23 = \frac{1}{2}{x^2} – \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}x + bx + 23\\ = \left( {\frac{1}{2}{x^2} – \frac{1}{2}x} \right) + \left( {\frac{1}{2}x + bx} \right) + 23\\ = \frac{{{x^2} – x}}{2} + \left( {\frac{1}{2} + b} \right)x + 23\\ = \frac{{\left( {x – 1} \right)x}}{2} + \left( {\frac{1}{2} + b} \right)x + 23\end{array}\)
Do trong hai số nguyên liên tiếp luôn có một số chia hết cho 2 nên \(\frac{{\left( {x – 1} \right)x}}{2}\) luôn nhận giá trị nguyên tại mọi số nguyên \(x\). Mà \(\frac{1}{2} + b\) là số nguyên, suy ra \(\frac{{\left( {x – 1} \right)x}}{2} + \left( {\frac{1}{2} + b} \right)x + 23\) luôn nhận giá trị nguyên tại mọi số nguyên \(x\).
Vậy \(G\) luôn nhận giá trị nguyên tại mọi số nguyên \(x\).