Đầu tiên tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng \(d\) với trục \(Ox\) và \(Oy\. Lời giải bài tập, câu hỏi Giải bài 27 trang 62 sách bài tập toán 8 – Cánh diều – Bài 4. Đồ thị của hàm số bậc nhất y = ax + b (a khác 0). Cho đường thẳng \(d:y = \left( {m – 2} \right)x + 2\) với \(m \ne 2\)….
Đề bài/câu hỏi:
Cho đường thẳng \(d:y = \left( {m – 2} \right)x + 2\) với \(m \ne 2\).
a) Tìm giá trị của \(m\) để đường thẳng \(d\) cùng với các trục \(Ox,Oy\) tạo thành tam giác có diện tích bằng 2.
b) Chứng tỏ rằng khi giá trị của \(m\) thay đổi thì tập hợp các đường thẳng \(d\) luôn đi qua một điểm cố định.
Hướng dẫn:
Đầu tiên tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng \(d\) với trục \(Ox\) và \(Oy\) sau đó áp dụng công thức tính diện tích của tam giác để tìm giá trị của \(m\).
Lời giải:
a) Với \(y = 0\) thì \(x = \frac{{ – 2}}{{m – 2}}\), ta được điểm \(A\left( {\frac{{ – 2}}{{m – 2}};0} \right)\) là giao điểm của đường thẳng \(d\) với trục \(Ox\). Khi đó \(OA = \left| {\frac{{ – 2}}{{m – 2}}} \right|\).
Với \(x = 0\) thì \(y = 2\), ta được điểm \(B\left( {0;2} \right)\) là giao điểm của đường thẳng \(d\) với trục \(Oy\). Khi đó \(OB = 2\).
Ta có diện tích của tam giác \(OAB\) bằng 2 nên \(\frac{1}{2}.OA.OB = 2\) hay \(OA.OB = 4\).
Suy ra \(\left| {\frac{{ – 2}}{{m – 2}}} \right|.2 = 4\) hay \(\left| {\frac{{ – 2}}{{m – 2}}} \right| = 2\). Do đó \(\frac{{ – 2}}{{m – 2}} = 2\) hoặc \(\frac{{ – 2}}{{m – 2}} = – 2\).
Vậy \(m = 1\) hoặc \(m = 3\) (thỏa mãn) thì đường thẳng \(d\) cùng với các trục \(Ox,Oy\) tạo thành tam giác có diện tích bằng 2.
b) Từ câu a, ta có đường thẳng \(d\) luôn đi qua điểm \(B\left( {0;2} \right)\) với mọi giá trị của \(m\). Vậy khi giá trị của \(m\) thay đổi thì tập hợp các đường thẳng \(d\) luôn đi qua điểm \(B\left( {0;2} \right)\) cố định.