Áp dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách nhóm số hạng và đặt nhân tử chung. Hướng dẫn trả lời Giải bài 25 trang 18 sách bài tập toán 8 – Cánh diều – Bài 4. Vận dụng hằng đẳng thức vào phân tích đa thức thành nhân tử. Chứng minh biểu thức \(B = {x^5} – 15{x^2} – x + 5\…
Đề bài/câu hỏi:
Chứng minh biểu thức \(B = {x^5} – 15{x^2} – x + 5\) chia hết cho 5 với mọi số nguyên \(x\)
Hướng dẫn:
Áp dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách nhóm số hạng và đặt nhân tử chung
Lời giải:
Trước hết, ta chứng minh \({x^5} – x \vdots 5\)
Ta có: \({x^5} – x = x\left( {{x^4} – 1} \right) = x\left( {{x^2} – 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right) = x\left( {x – 1} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right)\)
Nếu \(x = 5k\) thì \(x \vdots 5\)
Khi đó \(x\left( {x – 1} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right) \vdots 5\) hay \({x^5} – x \vdots 5\)
Nếu \(x = 5k + 1\) thì \(x – 1 = 5k \vdots 5\)
Khi đó \(x\left( {x – 1} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right) \vdots 5\) hay \({x^2} – x \vdots 5\)
Nếu \(x = 5k + 2\) thì \({x^2} + 1 = {\left( {5k + 2} \right)^2} + 1 = 25{k^2} + 20k + 5 \vdots 5\)
Khi đó \(x\left( {x – 1} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right) \vdots 5\) hay \({x^2} – x \vdots 5\)
Nếu \(x = 5k + 3\) thì \({x^2} + 1 = {\left( {5k + 3} \right)^2} + 1 = 25{k^2} + 30k + 10 \vdots 5\)
Khi đó \(x\left( {x – 1} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right) \vdots 5\) hay \({x^2} – x \vdots 5\)
Nếu \(x = 5k + 4\) thì \(x + 1 = 5k + 5 \vdots 5\)
Khi đó \(x\left( {x – 1} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right) \vdots 5\) hay \({x^2} – x \vdots 5\)
Do đó \({x^5} – x \vdots 5\) với mọi số nguyên \(x\)
Ta có: \({x^5} – x \vdots 5;15{x^2} \vdots 5;5 \vdots 5\) nên \({x^5} – 15{x^2} – x + 5 \vdots 5\) với mọi số nguyên\(x\).
Vậy \(B\) chia hết cho 5 với mọi số nguyên \(x\).