Áp dụng hằng đẳng thức và phép cộng trừ nhân chia phân thức đại số để rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức. Trả lời Giải bài 23 trang 41 sách bài tập toán 8 – Cánh diều – Bài tập cuối Chương 2. Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức:…
Đề bài/câu hỏi:
Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức:
a) \(A = \left( {\frac{{{x^2} + {y^2}}}{{{x^2} – {y^2}}} – 1} \right).\frac{{x – y}}{{2y}}\) tại \(x = 5;y = 7\)
b) \(B = \frac{{2x + y}}{{2{x^2} – xy}} + \frac{{8y}}{{{y^2} – 4{x^2}}} + \frac{{2x – y}}{{2{x^2} + xy}}\) tại \(x = – \frac{1}{2};y = \frac{3}{2}\)
c) \(C = \left( {\frac{{{x^2}}}{y} – \frac{{{y^2}}}{x}} \right)\left( {\frac{{x + y}}{{{x^2} + xy + {y^2}}} + \frac{1}{{x – y}}} \right) – \frac{x}{y}\) tại \(x = – 15;y = 5\)
Hướng dẫn:
Áp dụng hằng đẳng thức và phép cộng trừ nhân chia phân thức đại số để rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức.
Lời giải:
a) Rút gọn biểu thức:
\(A \) \( = \left( {\frac{{{x^2} + {y^2}}}{{{x^2} – {y^2}}} – 1} \right).\frac{{x – y}}{{2y}} \) \( = \left( {\frac{{{x^2} + {y^2} – {x^2} + {y^2}}}{{\left( {x – y} \right)\left( {x + y} \right)}}} \right).\frac{{x – y}}{{2y}} \) \( = \frac{{2{y^2}}}{{\left( {x – y} \right)\left( {x + y} \right)}}.\frac{{x – y}}{{2y}} \) \( = \frac{y}{{x + y}}\)
Giá trị của biểu thức \(A\) tại \(x \) \( = 5;y \) \( = 7\) là: \(\frac{7}{{5 + 7}} \) \( = \frac{7}{{12}}\).
b) Rút gọn biểu thức:
\(B = \frac{{2x + y}}{{2{x^2} – xy}} + \frac{{8y}}{{{y^2} – 4{x^2}}} + \frac{{2x – y}}{{2{x^2} + xy}}\\ \) \( = \frac{{2x + y}}{{x\left( {2x – y} \right)}} – \frac{{8y}}{{{{\left( {2x} \right)}^2} – {y^2}}} + \frac{{2x – y}}{{x\left( {2x + y} \right)}}\\ \) \( = \frac{{\left( {2x + y} \right)\left( {2x + y} \right)}}{{x\left( {2x – y} \right)\left( {2x + y} \right)}} – \frac{{8xy}}{{x\left( {2x – y} \right)\left( {2x + y} \right)}} + \frac{{\left( {2x – y} \right)\left( {2x + y} \right)}}{{x\left( {2x + y} \right)\left( {2x – y} \right)}}\\ \) \( = \frac{{{{\left( {2x + y} \right)}^2} – 8xy + {{\left( {2x – y} \right)}^2}}}{{x\left( {2x – y} \right)\left( {2x + y} \right)}}\\ \) \( = \frac{{4{x^2} + 4xy + {y^2} – 8xy + 4{x^2} – 4xy + {y^2}}}{{x\left( {2x + y} \right)\left( {2x – y} \right)}}\\ \) \( = \frac{{8{x^2} – 8xy + 2{y^2}}}{{x\left( {2x + y} \right)\left( {2x – y} \right)}} \) \( = \frac{{2{{\left( {2x – y} \right)}^2}}}{{x\left( {2x + y} \right)\left( {2x – y} \right)}} \) \( = \frac{{2\left( {2x – y} \right)}}{{x\left( {2x + y} \right)}}\)
Giá trị của biểu thức\(B\) tại \(x \) \( = – \frac{1}{2};y \) \( = \frac{3}{2}\) là: \(\frac{{2\left( {2. – \frac{1}{2} – \frac{3}{2}} \right)}}{{ – \frac{1}{2}\left( {2.\frac{{ – 1}}{2} + \frac{3}{2}} \right)}} \) \( = 20\)
c) Rút gọn biểu thức:
\(C = \left( {\frac{{{x^2}}}{y} – \frac{{{y^2}}}{x}} \right)\left( {\frac{{x + y}}{{{x^2} + xy + {y^2}}} + \frac{1}{{x – y}}} \right) – \frac{x}{y}\\ \) \( = \left( {\frac{{{x^3} – {y^3}}}{{xy}}} \right)\left( {\frac{{\left( {x + y} \right)\left( {x – y} \right) + {x^2} + xy + {y^2}}}{{\left( {x – y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right)}}} \right) – \frac{x}{y}\\ \) \( = \left( {\frac{{{x^3} – {y^3}}}{{xy}}} \right)\left( {\frac{{{x^2} – {y^2} + {x^2} + xy + {y^2}}}{{{x^3} – {y^3}}}} \right) – \frac{x}{y}\\ \) \( = \frac{{{x^3} – {y^3}}}{{xy}}.\frac{{2{x^2} + xy}}{{{x^3} – {y^3}}} – \frac{x}{y}\\ \) \( = \frac{{\left( {{x^3} – {y^3}} \right).x.\left( {2x + y} \right)}}{{xy.\left( {{x^3} – {y^3}} \right)}} – \frac{x}{y}\\ \) \( = \frac{{2x + y}}{y} – \frac{x}{y} \) \( = \frac{{x + y}}{y}\)
Giá trị của biểu thức \(C\) tại \(x \) \( = – 15;y \) \( = 5\) là: \(\frac{{ – 15 + 5}}{5} \) \( = 2\)