Rút gọn các biểu thức để cho giá trị của biểu thức là một hằng số thì giá trị của biểu thức sẽ không phụ. Phân tích, đưa ra lời giải Giải bài 17 trang 40 sách bài tập toán 8 – Cánh diều – Bài 3. Phép nhân – phép chia phân thức đại số. Chứng minh giá trị của mỗi biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến:…
Đề bài/câu hỏi:
Chứng minh giá trị của mỗi biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến:
a) \(M = \frac{{x – 2y}}{{3x + 6y}}:\frac{{{x^2} – 4{y^2}}}{{{x^2} + 4xy + 4{y^2}}}\)
b) \(N = \left( {x – \frac{{{x^2} + {y^2}}}{{x + y}}} \right)\left( {\frac{1}{y} + \frac{2}{{x – y}}} \right)\)
c) \(P = \left( {\frac{{{x^3} + {y^3}}}{{x + y}} – xy} \right):\left( {{x^2} – {y^2}} \right) + \frac{{2y}}{{x + y}}\)
Hướng dẫn:
Rút gọn các biểu thức để cho giá trị của biểu thức là một hằng số thì giá trị của biểu thức sẽ không phụ thuộc vào giá trị của biến.
Lời giải:
a) Rút gọn biểu thức \(M\) ta có:
\(\begin{array}{l}M = \frac{{x – 2y}}{{3x + 6y}}:\frac{{{x^2} – 4{y^2}}}{{{x^2} + 4xy + 4{y^2}}}\\ = \frac{{x – 2y}}{{3x + 6y}}.\frac{{{x^2} + 4xy + 4{y^2}}}{{{x^2} – 4{y^2}}}\\ = \frac{{\left( {x – 2y} \right).{{\left( {x + 2y} \right)}^2}}}{{3\left( {x + 2y} \right).\left( {x – 2y} \right)\left( {x + 2y} \right)}}\\ = \frac{1}{3}\end{array}\)
Ta thấy \(M = \frac{1}{3}\) vậy giá trị của biểu thức \(M\) không phụ thuộc vào giá trị của biến.
b) Rút gọn biểu thức \(N\) ta có:
\(\begin{array}{l}N = \left( {x – \frac{{{x^2} + {y^2}}}{{x + y}}} \right)\left( {\frac{1}{y} + \frac{2}{{x – y}}} \right)\\ = \left( {\frac{{x\left( {x + y} \right)}}{{x + y}} – \frac{{{x^2} + {y^2}}}{{x + y}}} \right)\left( {\frac{{x – y}}{{y\left( {x – y} \right)}} + \frac{{2y}}{{y\left( {x – y} \right)}}} \right)\\ = \left( {\frac{{{x^2} + xy – {x^2} – {y^2}}}{{x + y}}} \right)\left( {\frac{{x – y + 2y}}{{y\left( {x – y} \right)}}} \right)\\ = \left( {\frac{{xy – {y^2}}}{{x + y}}} \right)\left( {\frac{{x + y}}{{y\left( {x – y} \right)}}} \right)\\ = \left( {\frac{{y\left( {x – y} \right)}}{{x + y}}} \right)\left( {\frac{{x + y}}{{y\left( {x – y} \right)}}} \right)\\ = 1\end{array}\)
Ta thấy \(N = 1\) vậy giá trị của biểu thức \(N\) không phụ thuộc vào giá trị của biến.
c) Rút gọn biểu thức \(P\) ta có:
\(\begin{array}{l}P = \left( {\frac{{{x^3} + {y^3}}}{{x + y}} – xy} \right):\left( {{x^2} – {y^2}} \right) + \frac{{2y}}{{x + y}}\\ = \left( {\frac{{\left( {x + y} \right)\left( {{x^2} – xy + {y^2}} \right)}}{{x + y}} – xy} \right):\left( {x – y} \right)\left( {x + y} \right) + \frac{{2y}}{{x + y}}\\ = \left( {{x^2} – xy + {y^2} – xy} \right):\left( {x – y} \right)\left( {x + y} \right) + \frac{{2y}}{{x + y}}\\ = \frac{{{x^2} + {y^2} – 2xy}}{{\left( {x – y} \right)\left( {x + y} \right)}} + \frac{{2y}}{{x + y}}\\ = \frac{{{{\left( {x – y} \right)}^2}}}{{\left( {x – y} \right)\left( {x + y} \right)}} + \frac{{2y}}{{x + y}}\\ = \frac{{x – y}}{{x + y}} + \frac{{2y}}{{x + y}}\\ = \frac{{x + y}}{{x + y}} = 1\end{array}\)
Ta thấy \(P = 1\) vậy giá trị của biểu thức \(P\) không phụ thuộc vào giá trị của biến.