Đáp án Lời giải Đề thi giữa kì 2 – Đề số 3 – Đề thi đề kiểm tra Toán lớp 7 Chân trời sáng tạo.
Câu hỏi/Đề bài:
I. Trắc nghiệm
|
1.C |
2.B |
3. B |
4.A |
|
5.C |
6.D |
7.C |
8.C |
Câu 1:
Hướng dẫn:
Nếu \(\Delta ABC\) có trung tuyến \(AM\) và trọng tâm \(G\) thì \(AG = \dfrac{2}{3}AM\).
Cách giải:
Nếu \(\Delta ABC\) có trung tuyến \(AM\) và trọng tâm \(G\) thì \(AG = \dfrac{2}{3}AM;GM = \dfrac{1}{3}AM;AG = 2GM\)
Chọn B.
Câu 2:
Hướng dẫn:
Vận dụng kiến thức về hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau.
Cách giải:
\(x\) và \(y\) là hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau \( \Rightarrow y = \dfrac{a}{x}\left( {a \ne 0} \right)\)
Thay \(x = 5;y = 10\) vào ta được: \(10 = \dfrac{a}{5} \Rightarrow a = 10.5 = 50\)
Vậy hệ số tỉ lệ của \(y\) so với \(x\) là \(50\).
Ta có: \(y = \dfrac{{50}}{x}\), khi \(x = 2\) thì \(y = \dfrac{{50}}{2} = 25\).
Chọn B.
Câu 3:
Hướng dẫn:
Sử dụng tính chất tia phân giác của góc và định lí tổng 3 góc trong một tam giác.
Cách giải:
Ta có: \(\widehat {BOC} = {180^^\circ }{\rm{ \;}} – \widehat {{B_1}} – \widehat {{C_1}}\).
Vì BD và CE lần lượt là các tia phân giác của góc B và C nên ta có: \(\widehat {{B_1}} = \dfrac{{\hat B}}{2};{\mkern 1mu} \widehat {{C_1}} = \dfrac{{\hat C}}{2}\).
Trong tam giác ABC ta có: \(\hat B + \hat C = {180^^\circ }{\rm{ \;}} – \hat A = {180^^\circ }{\rm{ \;}} – {70^^\circ }{\rm{ \;}} = {110^^\circ }\).
\( \Rightarrow \widehat {BOC} = {180^^\circ }{\rm{ \;}} – \widehat {{B_1}} – \widehat {{C_1}} = {180^^\circ }{\rm{ \;}} – \dfrac{{\hat B + \hat C}}{2} = {180^^\circ }{\rm{ \;}} – {55^^\circ }{\rm{ \;}} = {125^^\circ }\)
Chọn B.
Câu 4:
Hướng dẫn:
+ Mọi điểm nằm trên đường phân giác của một góc thì cách đều hai cạnh của góc.
+ Giao của ba đường phân giác trong tam giác cách đều ba cạnh của tam giác đó.
+ Giao điểm của ba đường phân giác trong tam giác là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác đó.
Cách giải:
Gọi \(I\) là giao điểm của ba đường phân giác của tam giác thì \(I\)cách đều ba cạnh của tam giác.
Chọn A.
Câu 5
Hướng dẫn:
+ Tam giác cân có hai góc ở đáy bằng nhau.
+ Tam giác cân có hai đường trung tuyến ứng với hai cạnh bên bằng nhau.
+ Tổng ba góc trong một tam giác bằng \({180^o}\)
Cách giải:
+ Theo tính chất của tam giác cân thì A, D đúng.
+ Ta có \(\angle A = \angle B = \dfrac{{{{180}^o} – \angle C}}{2} < {90^o}\) . Vậy B đúng.
+ Tam giác ABC cân tại C thì \(AC > AB\)hoặc \(AC \le AB\). Vậy đáp án C sai.
Chọn C.
Câu 6.
Hướng dẫn:
Gọi số gam trong \(10\,000m\) dây đồng là \(x\left( g \right)\)
Vì khối lượng của dây đồng tỉ lệ thuận với chiều dài của dây đồng nên lập được dãy tỉ số bằng nhau, từ đó tìm được \(x\).
Cách giải:
Đổi \(10km = 10\,000m\)
Gọi số gam trong \(10\,000m\) dây đồng là \(x\left( g \right)\)
Vì khối lượng của dây đồng tỉ lệ thuận với chiều dài của dây đồng nên ta có:
\(\dfrac{{43}}{5} = \dfrac{x}{{10\,000}}\)
Suy ra \(x = \dfrac{{43}}{5}.10\,000 = 86\,000\left( g \right) = 86\left( {kg} \right)\)
Vậy \(10km\) dây đồng nặng \(86kg\)
Chọn A.
Câu 7.
Hướng dẫn:
Nếu đại lượng y liên hệ với đại lượng x theo công thức \(y = \dfrac{a}{x}\) hay \(x.y = a\) (a là hằng số khác 0) thì y tỉ lệ nghịch với x theo hệ số tỉ lệ a.
Cách giải:
Vì x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau nên hệ số tỉ lệ \(a = {x_1}.{y_1} = \dfrac{{ – 1}}{2}.8 = – 4\)
Vì x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau theo hệ số tỉ lệ \(a = – 4\) nên \(y = \dfrac{{ – 4}}{x}\)
Vậy công thức biểu diễn y theo x là \(y = \dfrac{{ – 4}}{x}\)
Vậy \(a = – 4\), \(y = \dfrac{{ – 4}}{x}\).
Chọn C.
Câu 8.
Hướng dẫn:
Vận dụng định lí: Nếu ba cạnh của tam giác bằng ba cạnh của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.
Cách giải:
Xét \(\Delta ABC\) và \(\Delta CDA\) có:
\(AB = CD\) (giả thiết)
\(AD = BC\) (giả thiết)
\(BD\) là cạnh chung
Suy ra \(\Delta ABC = \Delta CDA\,\left( {c.c.c} \right)\)
Do đó, \(\angle ABC = \angle CDA;\angle BAC = \angle DCA;\angle BCA = \angle DAC\) (hai góc tương ứng)
Vậy đáp án C là sai.
Chọn C.
II. PHẦN TỰ LUẬN (8,0 điểm)
Bài 1.
Hướng dẫn:
Vận dụng tính chất của tỉ lệ thức: Nếu \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}\) thì \(a.d = b.c\) từ đó tìm \(x\)
Cách giải:
a) \( – 0,1:x = – 0,2:0,06\)
\(\begin{array}{l}\dfrac{{ – 0,1}}{x} = \dfrac{{ – 0,2}}{{0,06}}\\\dfrac{{ – 0,1}}{x} = \dfrac{{ – 1}}{5}:\dfrac{3}{{50}}\\\dfrac{{ – 0,1}}{x} = \dfrac{{ – 1}}{5}.\dfrac{{50}}{3}\\\dfrac{{ – 0,1}}{x} = \dfrac{{ – 10}}{3}\end{array}\)
Áp dụng tính chất tỉ lệ thức ta có:
\(\begin{array}{l} – 0,1.3 = – 10x\\ – 0,3 = – 10x\\x = – 0,3:\left( { – 10} \right)\\x = \dfrac{{ – 3}}{{10}}.\left( {\dfrac{1}{{ – 10}}} \right)\\x = \dfrac{3}{{100}}\end{array}\)
Vậy \(x = \dfrac{3}{{100}}\)
b) \(\dfrac{{2 – x}}{4} = \dfrac{{3x – 1}}{3}\)
\(\begin{array}{l}3\left( {2 – x} \right) = 4\left( {3x – 1} \right)\\6 – 3x = 12x – 4\\ – 3x – 12x = – 4 – 6\\ – 15x = – 10\\x = \dfrac{2}{3}\end{array}\)
Vậy \(x = \dfrac{2}{3}\)
c) \(\dfrac{{2x – 1}}{{27}} = \dfrac{3}{{2x – 1}}\)
\(\begin{array}{l}{\left( {2x – 1} \right)^2} = 27.3 = 81\\{\left( {2x – 1} \right)^2} = {\left( { \pm 9} \right)^2}\end{array}\)
|
Trường hợp 1: \(\begin{array}{l}2x – 1 = 9\\2x = 10\\x = 5\end{array}\) |
Trường hợp 2: \(\begin{array}{l}2x – 1 = – 9\\2x = – 8\\x = – 4\end{array}\) |
Vậy phương trình có nghiệm là \(x = 5\) hoặc \(x = – 4\)
Câu 2
Hướng dẫn:
Gọi số tiền lãi của ba đơn vị kinh doanh A, B và C lần lượt là \(x,y,z\) (triệu đồng) (điều kiện: \(x,y,z \in \mathbb{N}\))
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để giải toán.
Cách giải:
Gọi số tiền lãi của ba đơn vị kinh doanh A, B và C lần lượt là \(x,y,z\) (triệu đồng) (điều kiện: \(x,y,z > 0\))
Theo bài ra, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{x}{2} = \dfrac{y}{3} = \dfrac{z}{7}\\x + y + z = 960\end{array} \right.\)
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có: \(\dfrac{x}{2} = \dfrac{y}{3} = \dfrac{z}{7} = \dfrac{{x + y + z}}{{2 + 3 + 7}} = \dfrac{{960}}{{12}} = 80\)
Khi đó, \(\dfrac{x}{2} = 80 \Rightarrow x = 160\) (tmđk)
\(\dfrac{y}{3} = 80 \Rightarrow y = 240\) (tmđk)
\(\dfrac{z}{7} = 80 \Rightarrow y = 560\) (tmđk)
Vậy số tiền lãi của ba đơn vị kinh doanh là: Đơn vị A: 160 triệu đồng, đơn vị B: 240 triệu đồng, đơn vị C: 560 triệu đồng.
Bài 3.
Hướng dẫn:
+ Sử dụng các cách chứng minh hai tam giác bằng nhau.
+ Sử dụng tính chất của các góc tạo bởi một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song.
+ Các định lí từ vuông góc tới song song.
+ Tính chất các đường cao, đường phân giác, đường trung trực trong tam giác cân.
Cách giải:
a) Xét hai tam giác vuông\(\Delta AHD\)và\(\Delta AKD\)có:
+ \(AD\)chung
+ \(\angle HAD = \angle KAD\) (vì\(AD\)là tia phân giác của \(\angle BAC\))
\( \Rightarrow \Delta AHD = \) (cạnh huyền – góc nhọn) (đpcm)
b) Theo a) \(\Delta AHD = \)\(\Delta AKD\)\( \Rightarrow \)\(AH = AK\)(hai cạnh tương ứng) (1)
Xét hai tam giác vuông\(\Delta AMK\)và\(\Delta ANH\)có:
+ \(\angle A\)chung
+\(AH = AK\)
+ \(\angle AKM = \angle AHN = {90^o}\)
\( \Rightarrow \)\(\Delta AMK = \Delta ANH\)(g.c.g)
\( \Rightarrow \)\(AM = AN\) (2)
Mà \(\begin{array}{l}AM = AH + HM\\AN = AK + KN\end{array}\) (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra \(HM = KN\) (đpcm)
c) + Do \(AM = AN\)\( \Rightarrow \Delta AMN\)cân tại \(A\)
Vì \(AD\)là tia phân giác của góc \(A\)nên suy ra \(AD\)đồng thời là đường cao trong \(\Delta AMN\)ứng với cạnh \(MN\).
\( \Rightarrow AD \bot MN\) (đpcm). (4)
+ \(\Delta ABC\)có \(AD\)là tia phân giác của góc \(A\)nên suy ra \(AD\)đồng thời là đường cao ứng với cạnh \(BC\).
\( \Rightarrow AD \bot BC\) (5)
Từ (4), (5) suy ra \(MN//BC\) (đpcm)
d) + Đường thẳng d song song với \(AM\)
\( \Rightarrow \)\(\angle AMN = \angle EIN\)(hai góc ở vị trí so le trong) (7)
Mặt khác \(\Delta AMN\)cân tại \(A\)\( \Rightarrow \)\(\angle AMN = \angle ANM\) (8)
Từ (7) và (8) suy ra: \(\angle EIN = \angle ANM = \angle ENI\)
\( \Rightarrow \)\(\Delta ENI\)cân tại \(E\)
\( \Rightarrow \)\(EI = EN\) (9)
+ Đường thẳng d song song với \(AM\)
\( \Rightarrow \)\(\angle EIA = \angle MAI{\rm{ }}\left( { = \angle AIE} \right)\)
\( \Rightarrow \)\(\Delta EAI\)cân tại \(E\)
\( \Rightarrow \)\(EI = EA\) (10)
Từ (9) và (10) suy ra: \(EI = EN = EA = \dfrac{1}{2}AN = \dfrac{1}{2}AM \Leftrightarrow EI = \dfrac{1}{2}AM\) (đpcm)
Bài 4.
Hướng dẫn:
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau.
Cách giải:
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
\(\dfrac{z}{{y + z + 1}} = \dfrac{y}{{x + z + 2}} = \dfrac{z}{{x + y – 3}} = \dfrac{{x + y + z}}{{y + z + 1 + x + z + 2 + x + y – 3}} = \dfrac{{x + y + z}}{{2x + 2y + 2z}} = \dfrac{{x + y + z}}{{2\left( {x + y + z} \right)}} = \dfrac{1}{2}\)
Khi đó, \(x + y + z = \dfrac{1}{2}\,\,\,\left( 1 \right)\)
\(\dfrac{x}{{y + z + 1}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow 2x – y – z = 1\,\,\,\left( 2 \right)\)
\(\dfrac{y}{{x + z + 2}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow 2y – x – z = 2\,\,\,\left( 3 \right)\)
Từ \(\left( 1 \right) \Rightarrow y + z = \dfrac{1}{2} – x\) thay vào (2), ta được: \(2x – \left( {\dfrac{1}{2} – x} \right) = 1 \Rightarrow 3x = \dfrac{3}{2} \Rightarrow x = \dfrac{1}{2}\)
Từ \(\left( 1 \right) \Rightarrow x + z = \dfrac{1}{2} – y\) thay vào (3), ta được: \(2y – \left( {\dfrac{1}{2} – y} \right) = 2 \Rightarrow 3y = \dfrac{5}{2} \Rightarrow y = \dfrac{5}{6}\)
Từ \(\left( 1 \right) \Rightarrow z = \dfrac{1}{2} – \left( {x + y} \right) = \dfrac{1}{2} – \left( {\dfrac{1}{2} + \dfrac{5}{6}} \right) \Rightarrow z = \dfrac{{ – 5}}{6}\)
Vậy \(x = \dfrac{1}{2}\,\,;\,\,y = \dfrac{5}{6}\,\,;\,\,z = \dfrac{{ – 5}}{6}\).