Câu 4.44 Bài 3 (trang 52, 53, 54) SBT Vật lí 12: Hạt nhân _84^210Po phóng xạ α tạo thành hạt nhân _82^206Pb bền. Ban đầu, có một mẫu trong đó chứa cả hạt nhân _84^210Po và hạt nhân _82^206Pb

Câu hỏi/Đề bài:

Hạt nhân \({}_{84}^{210}Po\) phóng xạ α tạo thành hạt nhân \({}_{82}^{206}Pb\) bền. Ban đầu, có một mẫu trong đó chứa cả hạt nhân \({}_{84}^{210}Po\) và hạt nhân \({}_{82}^{206}Pb\). Biết hạt nhân \({}_{82}^{206}Pb\) sinh ra được giữ lại hoàn toàn trong mẫu. Tại thời điểm t₁, tỉ số giữa số hạt nhân \({}_{82}^{206}Pb\) và số hạt nhân \({}_{84}^{210}Po\) còn lại trong mẫu là 1. Tại thời điểm t₂ = 3,52t₁, tỉ số giữa số hạt nhân \({}_{82}^{206}Pb\) và số hạt nhân \({}_{84}^{210}Po\) còn lại trong mẫu là 7. Tỉ số giữa số hạt nhân \({}_{82}^{206}Pb\) và số hạt nhân \({}_{84}^{210}Po\) ban đầu là bao nhiêu?

Hướng dẫn:

Vận dụng tính chất về sự bán rã

Lời giải:

Gọi số hạt nhân \({}_{84}^{210}Po\) và số hạt nhân \({}_{82}^{206}Pb\) tại thời điểm ban đầu là \({N_{0Po}}\) và \({N_{0Pb}}\) Sau thời gian t, số hạt nhân \({}_{84}^{210}Po\) còn lại là: \(N = {N_{0Po}}{.2^{\frac{{ – t}}{T}}}\)

Số hạt nhân \({}_{82}^{206}Pb\) mới được tạo thành bằng số hạt nhân \({}_{84}^{210}Po\) đã mất đi: \(\Delta N = {N_{0Po}}.\left( {1 – {2^{\frac{{ – t}}{T}}}} \right)\)

Tại thời điểm t₁, tỉ số giữa số hạt nhân \({}_{82}^{206}Pb\) và số hạt nhân \({}_{84}^{210}Po\) là:

\(\frac{{{N_{0Pb}} + \Delta {N_1}}}{{{N_1}}} = \frac{{{N_{0Pb}} + {N_{0Po}}\left( {1 – {2^{\frac{{ – {t_1}}}{T}}}} \right)}}{{{N_{0Po}}{{.2}^{\frac{{ – {t_1}}}{T}}}}} = 1 \Rightarrow \frac{{{N_{0Pb}}}}{{{N_{0Po}}}}{.2^{\frac{{{t_1}}}{T}}} + {2^{\frac{{{t_1}}}{T}}} – 1 = 1 \Rightarrow \left( {\frac{{{N_{0Pb}}}}{{{N_{0Po}}}} + 1} \right){2^{\frac{{{t_1}}}{T}}} = 2\) (1)

Tại thời điểm t₂, tỉ số giữa số hạt nhân \({}_{82}^{206}Pb\) và số hạt nhân \({}_{84}^{210}Po\) là:

\(\frac{{{N_{0Pb}} + \Delta {N_2}}}{{{N_2}}} = \frac{{{N_{0Pb}} + {N_{0Po}}\left( {1 – {2^{\frac{{ – {t_2}}}{T}}}} \right)}}{{{N_{0Po}}{{.2}^{\frac{{ – {t_2}}}{T}}}}} = 7 \Rightarrow \frac{{{N_{0Pb}}}}{{{N_{0Po}}}}{.2^{\frac{{{t_2}}}{T}}} + {2^{\frac{{{t_2}}}{T}}} – 1 = 7 \Rightarrow \left( {\frac{{{N_{0Pb}}}}{{{N_{0Po}}}} + 1} \right){2^{\frac{{{t_2}}}{T}}} = 8\) (2)

Chia (2) cho (1) theo từng vế:

\(\frac{{{2^{\frac{{{t_2}}}{T}}}}}{{{2^{\frac{{{t_1}}}{T}}}}} = 4 \Rightarrow {2^{\frac{{{t_2} – {t_1}}}{T}}} = 4 \Rightarrow {2^{\frac{{2,52{t_1}}}{T}}} = {2^2} \Rightarrow \frac{{{t_1}}}{T} = \frac{{50}}{{63}}\)

Thay vào (1) ta tìm được tỉ số: \(\frac{{{N_{0Pb}}}}{{{N_{0Po}}}} = 0,154\)