Giải mục 2 trang 27, 28 Toán 12 tập 1 – Kết nối tri thức: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y = – 2x^3 + 3x^2 – 5x

Đề bài/câu hỏi:

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số \(y = – 2{x^3} + 3{x^2} – 5x\).

Hướng dẫn:

Sử dụng kiến thức về sơ đồ khảo sát hàm số bậc ba để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số:

Sơ đồ khảo sát hàm số bậc ba

1. Tìm tập xác định của hàm số.

2. Khảo sát sự biến thiên của hàm số:

+ Tính đạo hàm y’. Tìm các điểm tại đó y’ bằng 0 hoặc đạo hàm không tồn tại.

+ Xét dấu y’ để chỉ ra các khoảng đơn điệu của hàm số.

+ Tìm cực trị của hàm số.

+ Tìm các giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực.

+ Lập bảng biến thiên của hàm số.

3. Vẽ đồ thị của hàm số dựa vào bảng biến thiên.

Lời giải:

1. Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\)

2. Sự biến thiên:

Ta có: \(y’ = – 6{x^2} + 6x – 5 = – 6{\left( {x – \frac{1}{2}} \right)^2} – \frac{7}{2} \le – \frac{7}{2}\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

Hàm số nghịch biến trên \(\left( { – \infty ; + \infty } \right)\).

Hàm số không có cực trị.

Giới hạn tại vô cực: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \left( { – 2{x^3} + 3{x^2} – 5x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \left[ {{x^3}\left( { – 2 + \frac{3}{x} – \frac{3}{{{x^2}}}} \right)} \right] = + \infty \)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( { – 2{x^3} + 3{x^2} – 5x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {{x^3}\left( { – 2 + \frac{3}{x} – \frac{3}{{{x^2}}}} \right)} \right] = – \infty \)

Bảng biến thiên:

3. Đồ thị:

Giao điểm của đồ thị hàm số \(y = – 2{x^3} + 3{x^2} – 5x\) với trục tung là \(\left( {0;0} \right)\).

Ta có: \( – 2{x^3} + 3{x^2} – 5x = 0 \Leftrightarrow – x\left( {2{x^2} – 3x + 5} \right) = 0 \Leftrightarrow x = 0\). Do đó, giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là điểm (0; 0).

Điểm \(\left( {1; – 4} \right)\) thuộc đồ thị hàm số \(y = – 2{x^3} + 3{x^2} – 5x\).

Đồ thị hàm số có tâm đối xứng là điểm \(\left( {\frac{1}{2}; – 2} \right)\).