Hướng dẫn giải Câu hỏi Vận dụng 2 trang 45 SGK Toán 12 Kết nối tri thức – Bài 15. Phương trình đường thẳng trong không gian. Hướng dẫn: Sử dụng kiến thức về điều kiện để hai đường thẳng vuông góc: Trong không gian Oxyz.
Câu hỏi/Đề bài:
Tại một nút giao thông có hai con đường. Trên thiết kế, trong không gian Oxyz, hai con đường đó tương ứng thuộc hai đường thẳng: \({\Delta _1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 1 + t\\z = 0\end{array} \right.;{\Delta _2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 – 2s\\y = 2s\\z = 1\end{array} \right.\). Hỏi hai con đường trên có vuông góc với nhau hay không?
Hướng dẫn:
Sử dụng kiến thức về điều kiện để hai đường thẳng vuông góc: Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng \({\Delta _1},{\Delta _2}\) tương ứng có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {{a_1};{b_1};{c_1}} \right),\overrightarrow {{u_2}} = \left( {{a_2};{b_2};{c_2}} \right)\). Khi đó, \({\Delta _1} \bot {\Delta _2} \Leftrightarrow \overrightarrow {{u_1}} .\overrightarrow {{u_2}} = 0 \Leftrightarrow {a_1}{a_2} + {b_1}{b_2} + {c_1}{c_2} = 0\)
Lời giải:
Đường thẳng \({\Delta _1}\) có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_1}} \left( {1;1;0} \right)\)
Đường thẳng \({\Delta _2}\) có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_2}} \left( { – 2;2;0} \right)\)
Vì \(\overrightarrow {{u_1}} .\overrightarrow {{u_2}} = 1.\left( { – 2} \right) + 1.2 + 0.0 = 0\) nên hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) vuông góc với nhau.
Do đó, hai con đường trên vuông góc với nhau.