Trang chủ Lớp 12 Toán lớp 12 SGK Toán 12 - Kết nối tri thức Câu hỏi trang 11 Toán 12 Kết nối tri thức: Giải thích...

Câu hỏi trang 11 Toán 12 Kết nối tri thức: Giải thích vì sao nếu f’(x) không đổi dấu qua x_0 thì x_0 không phải là điểm cực trị của hàm số f(x) ?

Giải chi tiết Câu hỏi trang 11 SGK Toán 12 Kết nối tri thức – Bài 1. Tính đơn điệu và cực trị của hàm số. Gợi ý: Sử dụng kiến thức về định lí cực trị hàm số để chứng minh.

Câu hỏi/Đề bài:

Giải thích vì sao nếu f’(x) không đổi dấu qua \({x_0}\) thì \({x_0}\) không phải là điểm cực trị của hàm số f(x)?

Hướng dẫn:

Sử dụng kiến thức về định lí cực trị hàm số để chứng minh: Giả sử hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên khoảng (a; b) chứa điểm \({x_0}\) và có đạo hàm trên các khoảng \(\left( {a;{x_0}} \right)\) và \(\left( {{x_0};b} \right)\). Khi đó:

+ Nếu \(f’\left( x \right) 0\) với mọi \(x \in \left( {{x_0};b} \right)\) thì điểm \({x_0}\) là một điểm cực tiểu của hàm số f(x).

+ Nếu \(f’\left( x \right) > 0\) với mọi \(x \in \left( {a;{x_0}} \right)\) và \(f’\left( x \right) < 0\) với mọi \(x \in \left( {{x_0};b} \right)\) thì điểm \({x_0}\) là một điểm cực đại của hàm số f(x).d

Lời giải:

Giả sử hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên khoảng (a; b) chứa điểm \({x_0}\) và có đạo hàm trên các khoảng \(\left( {a;{x_0}} \right)\) và \(\left( {{x_0};b} \right)\). Nếu f’(x) không đổi dấu qua \({x_0}\) thì:

TH1: \(f’\left( x \right) < 0\) với mọi \(x \in \left( {a;{x_0}} \right)\) và \(f'\left( x \right) < 0\) với mọi \(x \in \left( {{x_0};b} \right)\), ta có bảng biến thiên:

Giả sử hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên khoảng (a; b) chứa điểm \({x_0}\) và có đạo hàm trên các khoảng \(\left( {a;{x_0}} \right)\) và \(\left( {{x_0};b} \right)\). Nếu f’(x) không đổi dấu qua \({x_0}\) thì:

TH1: \(f’\left( x \right) < 0\) với mọi \(x \in \left( {a;{x_0}} \right)\) và \(f'\left( x \right) < 0\) với mọi \(x \in \left( {{x_0};b} \right)\), ta có bảng biến thiên:

Do đó, \({x_0}\) không phải là điểm cực trị của hàm số f(x).