Giải Câu hỏi Thực hành 2 trang 84 SGK Toán 12 Kết nối tri thức – Tính nguyên hàm và tích phân với phần mềm GeoGebra. Tính gần đúng tích phân bằng phương pháp hình thang. Hướng dẫn: Sử dụng kiến thức về phương pháp hình thang để tính.
Câu hỏi/Đề bài:
Sử dụng phương pháp hình thang, tính gần đúng \(\int\limits_1^2 {\frac{{{e^x}}}{x}dx} \) với độ chính xác 0,01.
Hướng dẫn:
Sử dụng kiến thức về phương pháp hình thang để tính:
Giả sử hàm số f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. Khi đó:
\(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} \approx \frac{{b – a}}{{2n}}\left[ {f\left( {{x_0}} \right) + 2f\left( {{x_1}} \right) + 2f\left( {{x_2}} \right) + … + 2f\left( {{x_{n – 1}}} \right) + f\left( {{x_n}} \right)} \right]\), ở đó đoạn [a; b] được chia thành n đoạn con \(\left[ {{x_0};{x_1}} \right],\left[ {{x_1};{x_2}} \right],…,\left[ {{x_{n – 1}},{x_n}} \right]\), mỗi đoạn có độ dài là \(\Delta x = \frac{{b – a}}{n}\).
Thuật toán: Để tính xấp xỉ \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} \) với độ chính xác không vượt quá số \(\varepsilon \) cho trước, ta thực hiện lần lượt các bước sau:
Bước 1: Tính f’’(x) và tìm \(M = \mathop {\max }\limits_{x \in \left[ {a;b} \right]} \left| {f”\left( x \right)} \right|\) (hoặc đánh giá \(\mathop {\max }\limits_{x \in \left[ {a;b} \right]} \left| {f”\left( x \right)} \right| \le M\) nếu việc tìm chính xác là khó).
Bước 2. Với sai số \(\varepsilon \) cho trước, tìm số tự nhiên n (nhỏ nhất) sao cho \(\left| E \right| \le \frac{{{{\left( {b – a} \right)}^3}M}}{{12{n^2}}} < \varepsilon \)
Bước 3. Chia đoạn [a; b] thành n đoạn con có độ dài bằng nhau và áp dụng công thức hình thang.
Lời giải:
Ta có: \(f’\left( x \right) = {\left( {\frac{{{e^x}}}{x}} \right)’} = \frac{{{e^x}.x – {e^x}}}{{{x^2}}},\) \(f”\left( x \right) = {\left( {\frac{{{e^x}.x – {e^x}}}{{{x^2}}}} \right)} = \frac{{{e^x}.{x^3} – 2{x^2}.{e^x} + 2x.{e^x}}}{{{x^4}}} = \frac{{{e^x}\left( {{x^2} – 2x + 2} \right)}}{{{x^3}}}\)
\(f”’\left( x \right) = \frac{{ – 6.{e^x} + 6x.{e^x} – 3{x^2}{e^x} + {x^3}{e^x}}}{{{x^4}}} = \frac{{{e^x}\left( {{x^3} – 3{x^2} + 6x – 6} \right)}}{{{x^4}}}\)
\(f”’\left( x \right) = 0\) thì \(x \approx 1,596\)
Ta có: \(f”\left( 1 \right) = e,f”\left( {1,569} \right) = \frac{{1,355216{e^{1,569}}}}{{1,{{569}^3}}},f”\left( 2 \right) = \frac{{{e^2}}}{4}\)
Do đó, \(M = \mathop {\max }\limits_{x \in \left[ {1;2} \right]} \left| {f”\left( x \right)} \right| = \left| {f’\left( 2 \right)} \right| = \frac{{{e^2}}}{4}\)
Ta cần tìm n sao cho: \(\frac{{{{\left( {2 – 1} \right)}^3}.\frac{{{e^2}}}{4}}}{{12{n^2}}} < 0,01 \Leftrightarrow \frac{{{e^2}}}{{48{n^2}}} \frac{{5e}}{{2\sqrt 3 }}\)
Do đó, ta chọn \(n = 5\)
Chia đoạn [1; 2] thành 5 đoạn bằng nhau là [1; 1,2], [1,2; 1,4], [1,4; 1,6], [1,6; 1,8], [1,8; 2].
Áp dụng công thức hình thang ta có:
\(\int\limits_1^2 {\frac{{{e^x}}}{x}dx} \approx \frac{{2 – 1}}{{10}}\left( {\frac{{{e^1}}}{1} + \frac{{2{e^{1,2}}}}{{1,2}} + \frac{{2{e^{1,4}}}}{{1,4}} + \frac{{2{e^{1,6}}}}{{1,6}} + \frac{{2{e^{1,8}}}}{{1,8}} + \frac{{{e^2}}}{2}} \right) \approx 3,065\)