Đáp án Câu hỏi Luyện tập 8 trang 54 SGK Toán 12 Kết nối tri thức – Bài 6. Vectơ trong không gian. Hướng dẫn: Sử dụng kiến thức về khái niệm tích của một số với một vectơ trong không gian để chứng minh.
Câu hỏi/Đề bài:
Trong Ví dụ 8, gọi I là điểm thuộc đoạn thẳng AG sao cho \(\overrightarrow {AI} = 3\overrightarrow {IG} \) (H.2.19). Chứng minh rằng \(\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} + \overrightarrow {ID} = \overrightarrow 0 \).
Hướng dẫn:
Sử dụng kiến thức về khái niệm tích của một số với một vectơ trong không gian để chứng minh: Trong không gian, tích của một số thực \(k \ne 0\) với một vectơ \(\overrightarrow a \ne \overrightarrow 0 \) là một vectơ, kí hiệu là \(k\overrightarrow a \) được xác định như sau:
– Cùng hướng với vectơ \(\overrightarrow a \) nếu \(k > 0\), ngược hướng với vectơ \(\overrightarrow a \) nếu \(k < 0\).
– Có độ dài bằng \(\left| k \right|\left| {\overrightarrow a } \right|\).
Lời giải:
Theo ví dụ 8 ta có: \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} = 3\overrightarrow {AG} \)\( \Rightarrow \overrightarrow {AI} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {AI} + \overrightarrow {IC} + \overrightarrow {AI} + \overrightarrow {ID} = 3\overrightarrow {AG} \)
\( \Rightarrow \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} + \overrightarrow {ID} = 3\overrightarrow {AG} – 3\overrightarrow {AI} = 3\left( {\overrightarrow {AG} + \overrightarrow {IA} } \right) = 3\overrightarrow {IG} = \overrightarrow {AI} \)\( \Rightarrow \overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} + \overrightarrow {ID} = \overrightarrow 0 \)