Giải chi tiết Câu hỏi Luyện tập 7 trang 343 SGK Toán 12 Kết nối tri thức – Bài 14. Phương trình mặt phẳng. Tham khảo: Tìm vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow u , \overrightarrow v } \right]\).
Câu hỏi/Đề bài:
Trong không gian Oxyz, cho các điểm \(A\left( {1; – 2; – 1} \right),B\left( {4;1;2} \right),C\left( {2;3;1} \right)\). Viết phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua điểm \(A\left( {1; – 2; – 1} \right)\) đồng thời song song với trục Oy và đường thẳng BC.
Hướng dẫn:
Sử dụng kiến thức về lập phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và biết cặp vectơ chỉ phương: Trong không gian Oxyz, bài toán viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M và biết cặp vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u ,\overrightarrow v \) có thể thực hiện theo các bước sau:
+ Tìm vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]\).
+ Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua M và biết vectơ pháp tuyến\(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]\).
Lời giải:
Trục Oy có một vectơ chỉ phương là: \(\overrightarrow j = \left( {0;1;0} \right)\).
Đường thẳng BC có một vectơ chỉ phương là: \(\overrightarrow {BC} \left( { – 2;2; – 1} \right)\).
Vì mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua điểm \(A\left( {1; – 2; – 1} \right)\) đồng thời song song với trục Oy và đường thẳng BC nên mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) nhận \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow j } \right]\) làm một vectơ pháp tuyến.
\(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow j } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&{ – 1}\\1&0\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ – 1}&{ – 2}\\0&0\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ – 2}&2\\0&1\end{array}} \right|} \right) = \left( {1;0; – 2} \right)\)
Do đó, phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là: \(1\left( {x – 1} \right) – 2\left( {z + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x – 2z – 3 = 0\)