Câu hỏi Hoạt động 7 trang 34 Toán 12 Kết nối tri thức: Trong không gian Oxyz, cho ba điểm không thẳng hàng A 1;2;3, B – 1;3;4, C 2; – 1;2

Câu hỏi/Đề bài:

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm không thẳng hàng \(A\left( {1;2;3} \right),B\left( { – 1;3;4} \right),C\left( {2; – 1;2} \right)\)

a) Hãy chỉ ra một cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng (ABC).

b) Viết phương trình mặt phẳng (ABC).

Hướng dẫn:

Sử dụng kiến thức về lập phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và biết cặp vectơ chỉ phương: Trong không gian Oxyz, bài toán viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M và biết cặp vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u ,\overrightarrow v \) có thể thực hiện theo các bước sau:

+ Tìm vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]\).

+ Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua M và biết vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]\).

Lời giải:

a) Mặt phẳng (ABC) có cặp vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {AB} \left( { – 2;1;1} \right),\overrightarrow {AC} \left( {1, – 3; – 1} \right)\).

b) Mặt phẳng (ABC) có cặp vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {AB} \left( { – 2;1;1} \right),\overrightarrow {AC} \left( {1, – 3; – 1} \right)\) nên có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]\).

Ta có: \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&1\\{ – 3}&{ – 1}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&{ – 2}\\{ – 1}&1\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ – 2}&1\\1&{ – 3}\end{array}} \right|} \right) = \left( {2; – 1;5} \right)\)

Mặt phẳng (ABC) đi qua điểm \(A\left( {1;2;3} \right)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {2; – 1;5} \right)\) nên phương trình mặt phẳng (ABC) là: \(2\left( {x – 1} \right) – \left( {y – 2} \right) + 5\left( {z – 3} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x – y + 5z – 15 = 0\).