Lời giải Câu hỏi Luyện tập 3 trang 24 SGK Toán 12 Kết nối tri thức – Bài 3. Đường tiệm cận của đồ thị hàm số. Hướng dẫn: Sử dụng kiến thức về tìm khái niệm đường tiệm cận xiên để tìm tiệm cận xiên.
Câu hỏi/Đề bài:
Tìm các tiệm cận đứng và tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{{x^2} – 4x + 2}}{{1 – x}}\).
Hướng dẫn:
Sử dụng kiến thức về tìm khái niệm đường tiệm cận xiên để tìm tiệm cận xiên: Đường thẳng \(y = ax + b\left( {a \ne 0} \right)\) gọi là đường tiệm cận xiên (gọi tắt là tiệm cận xiên) của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f\left( x \right) – \left( {ax + b} \right)} \right] = 0\) hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \left[ {f\left( x \right) – \left( {ax + b} \right)} \right] = 0\).
Lời giải:
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{{x^2} – 4x + 2}}{{1 – x}} = + \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} \frac{{{x^2} – 4x + 2}}{{1 – x}} = – \infty \)
Vậy tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) là đường thẳng \(x = 1\)
Ta có: \(y = f\left( x \right) = \frac{{{x^2} – 4x + 2}}{{1 – x}} = – x + 3 – \frac{1}{{1 – x}}\)
Do đó, \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f\left( x \right) – \left( { – x + 3} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ – 1}}{{1 – x}} = 0\), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \left[ {f\left( x \right) – \left( { – x + 3} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \frac{{ – 1}}{{1 – x}} = 0\)
Vậy tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) là đường thẳng \(y = – x + 3\)