Hướng dẫn giải Câu hỏi Luyện tập 2 trang 18 SGK Toán 12 Kết nối tri thức – Bài 2. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số. Hướng dẫn: Sử dụng kiến thức về cách tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên.
Câu hỏi/Đề bài:
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
a) \(y = 2{x^3} – 3{x^2} + 5x + 2\) trên đoạn \(\left[ {0;2} \right]\);
b) \(y = \left( {x + 1} \right){e^{ – x}}\) trên đoạn \(\left[ { – 1;1} \right]\).
Hướng dẫn:
Sử dụng kiến thức về cách tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn để tính: Giả sử \(y = f\left( x \right)\) là hàm số liên tục trên \(\left[ {a;b} \right]\) và có đạo hàm trên (a; b), có thể trừ ra tại một số hữu hạn điểm mà tại đó hàm số không có đạo hàm. Giả sử chỉ có hữu hạn điểm trong đoạn \(\left[ {a;b} \right]\) mà đạo hàm \(f’\left( x \right) = 0\).
Các bước tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\):
1. Tìm các điểm \({x_1},{x_2},…{x_n} \in \left( {a;b} \right)\), tại đó \(f’\left( x \right) = 0\) hoặc không tồn tại.
2. Tính \(f\left( {{x_1}} \right);f\left( {{x_2}} \right);…;f\left( {{x_n}} \right)\), f(a) và f(b).
3. Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên.
Ta có: \(M = \mathop {\max }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f\left( x \right),m = \mathop {\min }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f\left( x \right)\)
Lời giải:
a) Ta có: \(y’ = 6{x^2} – 6x + 5 = 6\left( {{x^2} – x + \frac{5}{6}} \right) = 6{\left( {x – \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{7}{2} > 0\;\forall x \in \left[ {0;2} \right]\)
Do đó, hàm số \(y = 2{x^3} – 3{x^2} + 5x + 2\) đồng biến trên \(\left[ {0;2} \right]\).
Ta có: \(y\left( 0 \right) = 2;y\left( 2 \right) = {2.2^3} – {3.2^2} + 5.2 + 2 = 16\)
Do đó, \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;2} \right]} y = y\left( 2 \right) = 16,\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;2} \right]} y = y\left( 0 \right) = 2\)
b) Ta có: \(y’ = {e^{ – x}} – \left( {x + 1} \right){e^{ – x}} = {e^{ – x}}\left( {1 – x – 1} \right) = – x.{e^{ – x}}\)
\(y’ = 0 \Leftrightarrow – x.{e^{ – x}} = 0 \Leftrightarrow x = 0\) (thỏa mãn \(x \in \left[ { – 1;1} \right]\))
\(y\left( { – 1} \right) = 0;y\left( 0 \right) = 1;y\left( 1 \right) = \frac{2}{e}\)
Do đó, \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { – 1;1} \right]} y = y\left( 0 \right) = 1,\mathop {\min }\limits_{\left[ { – 1;1} \right]} y = y\left( { – 1} \right) = 0\)