Giải chi tiết Câu hỏi Luyện tập 1 trang 17 SGK Toán 12 Kết nối tri thức – Bài 2. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số. Hướng dẫn: Sử dụng kiến thức về khái niệm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số để tính.
Câu hỏi/Đề bài:
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau:
a) \(y = \sqrt {2x – {x^2}} \);
b) \(y = – x + \frac{1}{{x – 1}}\) trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\).
Hướng dẫn:
Sử dụng kiến thức về khái niệm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số để tính: Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên tập D.
+ Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số \(y = f\left( x \right)\) trên tập D nếu \(f\left( x \right) \le M\) với mọi \(x \in D\) và tồn tại \({x_0} \in D\) sao cho \(f\left( {{x_0}} \right) = M\).
Kí hiệu \(M = \mathop {\max }\limits_{x \in D} f\left( x \right)\) hoặc \(M = \mathop {\max }\limits_D f\left( x \right)\)
+ Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = f\left( x \right)\) trên tập D nếu \(f\left( x \right) \ge m\) với mọi \(x \in D\) và tồn tại \({x_0} \in D\) sao cho \(f\left( {{x_0}} \right) = m\).
Kí hiệu \(m = \mathop {\min }\limits_{x \in D} f\left( x \right)\) hoặc \(m = \mathop {\min }\limits_D f\left( x \right)\)
Lời giải:
a) Tập xác định của hàm số là \(\left[ {0;2} \right]\).
Với \(x \in \left[ {0;2} \right]\) ta có: \(y’ = \frac{{\left( {2x – {x^2}} \right)’}}{{2\sqrt {2x – {x^2}} }} = \frac{{ – x + 1}}{{\sqrt {2x – {x^2}} }}\), \(y’ = 0 \Leftrightarrow \frac{{ – x + 1}}{{\sqrt {2x – {x^2}} }} = 0 \Leftrightarrow x = 1\left( {tm} \right)\)
Lập bảng biến thiên của hàm số trên đoạn \(\left[ {0;2} \right]\):
Từ bảng biến thiên ta thấy: \(\mathop {\min }\limits_{\left[ { – 1;1} \right]} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) = f\left( 2 \right) = 0,\mathop {\max }\limits_{\left[ { – 1;1} \right]} f\left( x \right) = f\left( 1 \right) = 1\).
b) Với \(x \in \left( {1; + \infty } \right)\) ta có:
Ta có: \(y’ = – 1 + \frac{{ – 1}}{{{{\left( {x – 1} \right)}^2}}} < 0\;\forall x \in \left( {1; + \infty } \right)\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( { – x + \frac{1}{{x – 1}}} \right) = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( { – x + \frac{1}{{x – 1}}} \right) = – \infty \)
Lập bảng biến thiên của hàm số trên \(\left( {1; + \infty } \right)\):
Vậy hàm số không có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên \(\left( {1; + \infty } \right)\).