Sử dụng kiến thức về lập phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và biết cặp vectơ chỉ phương để viết phương trình. Giải và trình bày phương pháp giải Giải bài tập 5.46 trang 63 SGK Toán 12 tập 2 – Kết nối tri thức – Bài tập cuối chương 5. Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): \(x – y – z – 1 = 0\), (Q):…
Đề bài/câu hỏi:
Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): \(x – y – z – 1 = 0\), (Q): \(2x + y – z – 2 = 0\) và điểm \(A\left( { – 1;2;0} \right)\). Viết phương trình mặt phẳng (R) đi qua điểm A đồng thời vuông góc với cả hai mặt phẳng (P) và (Q).
Hướng dẫn:
Sử dụng kiến thức về lập phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và biết cặp vectơ chỉ phương để viết phương trình: Trong không gian Oxyz, bài toán viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M và biết cặp vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u ,\overrightarrow v \) có thể thực hiện theo các bước sau:
+ Tìm vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]\).
+ Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua M và biết vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]\).
Lời giải:
Mặt phẳng (P) nhận \(\overrightarrow {{n_1}} \left( {1; – 1; – 1} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến.
Mặt phẳng (Q) nhận \(\overrightarrow n \left( {2;1; – 1} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến.
Ta có: \(\left[ {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ – 1}&{ – 1}\\1&{ – 1}\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ – 1}&1\\{ – 1}&2\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&{ – 1}\\2&1\end{array}} \right|} \right) = \left( {2; – 1;3} \right)\)
Vì mặt phẳng (R) đồng thời vuông góc với cả hai mặt phẳng (P) và (Q) nên mặt phẳng (R) nhận \(\left[ {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right] = \left( {2; – 1;3} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến.
Mà mặt phẳng (R) đi qua điểm \(A\left( { – 1;2;0} \right)\) nên phương trình mặt phẳng (R) là:
\(2\left( {x + 1} \right) – \left( {y – 2} \right) + 3z = 0 \Leftrightarrow 2x – y + 3z + 4 = 0\)