Bài tập 5.45 trang 63 Toán 12 tập 2 – Kết nối tri thức: Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d: x + 1/1 = y – 1/2 = z/ – 1 và d’

Đề bài/câu hỏi:

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d: \(\frac{{x + 1}}{1} = \frac{{y – 1}}{2} = \frac{z}{{ – 1}}\) và \(d’:\frac{{x – 1}}{1} = \frac{{y – 2}}{1} = \frac{{z + 1}}{2}\). Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và song song với đường thẳng d’.

Hướng dẫn:

Sử dụng kiến thức về lập phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và biết cặp vectơ chỉ phương để viết phương trình: Trong không gian Oxyz, bài toán viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M và biết cặp vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u ,\overrightarrow v \) có thể thực hiện theo các bước sau:

+ Tìm vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]\).

+ Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua M và biết vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]\).

Lời giải:

Đường thẳng d nhận \(\overrightarrow {{u_1}} \left( {1;2; – 1} \right)\) làm một vectơ chỉ phương và đi qua điểm \(A\left( { – 1;1;0} \right)\).

Đường thẳng d’ nhận \(\overrightarrow {{u_2}} \left( {1;1;2} \right)\) làm một vectơ chỉ phương.

Ta có: \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&{ – 1}\\1&2\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ – 1}&1\\2&1\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&2\\1&1\end{array}} \right|} \right) = \left( {5; – 3; – 1} \right)\)

Vì mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và song song với đường thẳng d’ nên mặt phẳng (P) nhận \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( {5; – 3; – 1} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến.

Mà điểm \(A\left( { – 1;1;0} \right)\) thuộc mặt phẳng (P) nên phương trình mặt phẳng (P) là:

\(5\left( {x + 1} \right) – 3\left( {y – 1} \right) – z = 0 \Leftrightarrow 5x – 3y – z + 8 = 0\)