Bài tập 4.28 trang 28 Toán 12 tập 2 – Kết nối tri thức: Tìm họ tất cả các nguyên hàm của các hàm số sau: a) y = 2^x – 1/x; b) y = x√x + 3cos x – 2/sin ^2x

Đề bài/câu hỏi:

Tìm họ tất cả các nguyên hàm của các hàm số sau:

a) \(y = {2^x} – \frac{1}{x}\);

b) \(y = x\sqrt x + 3\cos x – \frac{2}{{{{\sin }^2}x}}\).

Hướng dẫn:

Sử dụng kiến thức về tính chất cơ bản của nguyên hàm để tính: \(\int {kf\left( x \right)dx} = k\int {f\left( x \right)dx} \)

Sử dụng kiến thức về nguyên hàm một tổng để tính: \(\int {\left[ {f\left( x \right) – g\left( x \right)} \right]} \,dx = \int {f\left( x \right)dx – \int {g\left( x \right)dx} } \), \(\int {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]} \,dx = \int {f\left( x \right)dx + \int {g\left( x \right)dx} } \)

Sử dụng kiến thức về nguyên hàm của hàm số lũy thừa để tính:

\(\int {{x^\alpha }dx} = \frac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}} + C\left( {\alpha \ne – 1} \right),\int {\frac{1}{x}} dx = \ln \left| x \right| + C\)

Sử dụng kiến thức về nguyên hàm của hàm số mũ để tính: \(\int {{a^x}dx} = \frac{{{a^x}}}{{\ln a}} + C\left( {0 < a \ne 1} \right)\)

Sử dụng kiến thức về nguyên hàm của hàm số lượng giác để tính:

\(\int {\cos x} dx = \sin x + C,\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}} dx = – \cot x + C\)

Lời giải:

a) \(\int {\left( {{2^x} – \frac{1}{x}} \right)dx} = \int {{2^x}dx} – \int {\frac{1}{x}dx} = \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} – \ln \left| x \right| + C\)

b) \(\int {\left( {x\sqrt x + 3\cos x – \frac{2}{{{{\sin }^2}x}}} \right)dx} = \int {{x^{\frac{3}{2}}}dx} + 3\int {\cos x – 2\int {\frac{{dx}}{{{{\sin }^2}x}}} } \)

\( = \frac{{2{x^2}\sqrt x }}{5} + 3\sin x + 2\cot x + C\)