Sử dụng kiến thức về tính chất cơ bản của nguyên hàm để tính: \(\int {kf\left( x \right)dx} = k\int {f\left( x \right)dx} \. Hướng dẫn giải Giải bài tập 4.22 trang 27 SGK Toán 12 tập 2 – Kết nối tri thức – Bài tập cuối chương 4. Nguyên hàm F(x) của hàm số \(f\left( x \right) = {e^x} – 3{e^{ – x}}\…
Đề bài/câu hỏi:
Nguyên hàm F(x) của hàm số \(f\left( x \right) = {e^x} – 3{e^{ – x}}\) thỏa mãn \(F\left( 0 \right) = 4\) là
A. \(F\left( x \right) = {e^x} – 3{e^{ – x}}\).
B. \(F\left( x \right) = {e^x} + 3{e^{ – 2x}}\).
C. \(F\left( x \right) = {e^x} + 3{e^{ – x}}\).
D. \(F\left( x \right) = {e^x} + 3{e^{ – x}} + 4\).
Hướng dẫn:
Sử dụng kiến thức về tính chất cơ bản của nguyên hàm để tính: \(\int {kf\left( x \right)dx} = k\int {f\left( x \right)dx} \)
Sử dụng kiến thức về nguyên hàm một tổng để tính: \(\int {\left[ {f\left( x \right) – g\left( x \right)} \right]} \,dx = \int {f\left( x \right)dx – \int {g\left( x \right)dx} } \)
Sử dụng kiến thức về nguyên hàm của hàm số mũ để tính: \(\int {{e^x}dx} = {e^x} + C\)
Lời giải:
Ta có: \(F\left( x \right) = \int {\left( {{e^x} – 3{e^{ – x}}} \right)dx} = \int {{e^x}dx} – 3\int {{{\left( {\frac{1}{e}} \right)}^x}} dx = {e^x} + 3{e^{ – x}} + C\)
Lại có: \(F\left( 0 \right) = 4\) nên \({e^0} + 3{e^0} + C = 4\) nên \(C = 0\). Vậy \(F\left( x \right) = {e^x} + 3{e^{ – x}}\)
Chọn C