Bài tập 3.6 trang 84 Toán 12 tập 1 – Kết nối tri thức: Một nhóm 20 học sinh dùng một thiết bị đo đường kính của một nhân tế bào cho kết quả như sau

Đề bài/câu hỏi:

Một nhóm 20 học sinh dùng một thiết bị đo đường kính của một nhân tế bào cho kết quả như sau:

a) Tính số trung bình và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm trên.

b) Số trung bình và độ lệch chuẩn cho biết thông tin gì?

Hướng dẫn:

a) Sử dụng kiến thức về phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm để tính: Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu là \({s^2}\), là một số được tính theo công thức sau: \({s^2} = \frac{1}{n}\left( {{m_1}x_1^2 + … + {m_k}x_k^2} \right) – {\left( {\overline x } \right)^2}\), trong đó \(n = {m_1} + … + {m_k}\) với \(\overline x = \frac{{{m_1}{x_1} + … + {m_k}{x_k}}}{n}\) là số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm.

Sử dụng kiến thức độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm để tính: Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu là s, là căn bậc hai số học của phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm, tức là \(s = \sqrt {{s^2}} \)

b) Sử dụng kiến thức về ý nghĩa của số trung bình và độ lệch chuẩn để giải thích: Số trung bình và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là các xấp xỉ cho phương sai, độ lệch chuẩn của mẫu số liệu gốc.

Lời giải:

a) Mẫu số liệu ghép nhóm với giá trị đại diện:

Số trung bình: \(\overline x = \frac{{4,75.3 + 5,25.8 + 5,75.7 + 6,25.2}}{{20}} = \frac{{109}}{{20}}\left( {\mu m} \right)\)

Phương sai: \({s^2} = \frac{1}{{20}}\left( {4,{{75}^2}.3 + 5,{{25}^2}.8 + 5,{{75}^2}.7 + 6,{{25}^2}.2} \right) – {\left( {\frac{{109}}{{20}}} \right)^2} = \frac{{37}}{{200}}\)

Độ lệch chuẩn: \(s = \sqrt {\frac{{37}}{{200}}} \approx 0,43\)

b) Số trung bình và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm xấp xỉ với số trung bình và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu gốc. Do đó, mẫu số liệu gốc có số trung bình xấp xỉ \(\frac{{109}}{{20}}\mu m\) và độ lệch chuẩn xấp xỉ 0,43\(\mu m\).