Bài tập 28 trang 93 Toán 12 tập 2 – Kết nối tri thức: Trong không gian Oxyz, có một nguồn sáng phát ra từ điểm S(2; 3; 5) và một đoạn dây thẳng nối từ điểm A(1; 2; 1) đến điểm B(3; 1

Đề bài/câu hỏi:

Trong không gian Oxyz, có một nguồn sáng phát ra từ điểm S(2; 3; 5) và một đoạn dây thẳng nối từ điểm A(1; 2; 1) đến điểm B(3; 1; 2). Dưới nguồn sáng, đoạn dây trên có bóng trên mặt phẳng (Oxy) là một đoạn thẳng. Tính độ dài đoạn thẳng đó.

Hướng dẫn:

Sử dụng kiến thức về phương trình tham số của đường thẳng để viết phương trình tham số đường thẳng: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(A\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {a;b;c} \right)\). Hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\\z = {z_0} + ct\end{array} \right.\) được gọi là phương trình tham số của đường thẳng \(\Delta \) (t là tham số, \(t \in \mathbb{R}\)).

Sử dụng kiến thức về độ dài đoạn thẳng trong không gian để tính: Nếu \(A\left( {{x_A};{y_A};{z_A}} \right)\) và \(B\left( {{x_B};{y_B};{z_B}} \right)\) thì \(AB = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {{{\left( {{x_B} – {x_A}} \right)}^2} + {{\left( {{y_B} – {y_A}} \right)}^2} + {{\left( {{z_B} – {z_A}} \right)}^2}} \)

Lời giải:

Phương trình mặt phẳng Oxy: \(z = 0\)

Đường thẳng SA đi qua điểm \(A\left( {1;2;1} \right)\) và nhận \(\overrightarrow {SA} \left( { – 1; – 1; – 4} \right)\) làm một vectơ chỉ phương nên phương trình tham số của đường thẳng SA là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 – t\\y = 2 – t\\z = 1 – 4t\end{array} \right.\)

Gọi N là giao điểm của đường thẳng SA và mặt phẳng (Oxy) nên \(N\left( {1 – t;2 – t;1 – 4t} \right)\)

Thay tọa độ điểm N vào phương trình mặt phẳng (Oxy) ta có: \(1 – 4t = 0 \Rightarrow t = \frac{1}{4}\)

Khi đó, \(N\left( {\frac{3}{4};\frac{7}{4};0} \right)\).

Đường thẳng SB đi qua điểm \(B\left( {3;1;2} \right)\) và nhận \(\overrightarrow {SB} \left( {1; – 2; – 3} \right)\) làm một vectơ chỉ phương nên phương trình tham số của đường thẳng SB là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + t\\y = 1 – 2t\\z = 2 – 3t\end{array} \right.\)

Gọi P là giao điểm của đường thẳng SB và mặt phẳng (Oxy) nên \(P\left( {3 + t;1 – 2t;2 – 3t} \right)\)

Thay tọa độ điểm P vào phương trình mặt phẳng (Oxy) ta có: \(2 – 3t = 0 \Rightarrow t = \frac{2}{3}\)

Khi đó, \(P\left( {\frac{{11}}{3};\frac{{ – 1}}{3};0} \right)\)

Ta có: \(NP = \sqrt {{{\left( {\frac{3}{4} – \frac{{11}}{3}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{7}{4} + \frac{1}{3}} \right)}^2}} = \frac{{5\sqrt {74} }}{{12}}\)

Vậy độ dài bóng của đoạn dây trên mặt phẳng (Oxy) bằng \(\frac{{5\sqrt {74}}}{{12}}\).