Bài tập 20 trang 92 Toán 12 tập 2 – Kết nối tri thức: Tính các tích phân sau: a) I = ∫limits_0^2 | x^2 – x |dx ; b) I = ∫limits_0^1 2x – 1 ^3dx

Đề bài/câu hỏi:

Tính các tích phân sau:

a) \(I = \int\limits_0^2 {\left| {{x^2} – x} \right|dx} \);

b) \(I = \int\limits_0^1 {{{\left( {2x – 1} \right)}^3}dx} \);

c) \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {{{\left( {3\sin x – \frac{2}{{{{\cos }^2}x}}} \right)}^3}dx} \);

d) \(I = \int\limits_1^2 {\left( {2{e^x} – \frac{1}{x}} \right)dx} \).

Hướng dẫn:

Sử dụng kiến thức về định nghĩa tích phân để tính: Cho f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn [a; b] thì hiệu số \(F\left( b \right) – F\left( a \right)\) được gọi là tích phân từ a đến b của hàm số f(x), kí hiệu \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} \).

Sử dụng kiến thức về tính chất của tích phân để tính: Cho f(x), g(x) là các hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. Khi đó, ta có:

+ \(\int\limits_a^b {kf\left( x \right)dx} = k\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} \) (k là hằng số)

+ \(\int\limits_a^b {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]dx} = \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} + \int\limits_a^b {g\left( x \right)dx} \)

+ \(\int\limits_a^b {\left[ {f\left( x \right) – g\left( x \right)} \right]dx} = \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} – \int\limits_a^b {g\left( x \right)dx} \)

Lời giải:

a) \(I = \int\limits_0^2 {\left| {{x^2} – x} \right|dx} = \int\limits_0^1 {\left| {{x^2} – x} \right|dx} + \int\limits_1^2 {\left| {{x^2} – x} \right|dx} = \int\limits_0^1 {\left( {x – {x^2}} \right)dx} + \int\limits_1^2 {\left( {{x^2} – x} \right)dx} \)

\( = \left( {\frac{{{x^2}}}{2} – \frac{{{x^3}}}{3}} \right)\left| \begin{array}{l}1\\0\end{array} \right. + \left( {\frac{{{x^3}}}{3} – \frac{{{x^2}}}{2}} \right)\left| \begin{array}{l}2\\1\end{array} \right. = \left( {\frac{1}{2} – \frac{1}{3}} \right) + \left( {\frac{8}{3} – \frac{4}{2} – \frac{1}{3} + \frac{1}{2}} \right) = 1\)

b) \(I = \int\limits_0^1 {{{\left( {2x – 1} \right)}^3}dx} = \int\limits_0^1 {\left( {8{x^3} – 12{x^2} + 6x – 1} \right)dx} = \left( {2{x^4} – 4{x^3} + 3{x^2} – x} \right)\left| \begin{array}{l}1\\0\end{array} \right. = 2 – 4 + 3 – 1 = 0\)

c) \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\left( {3\sin x – \frac{2}{{{{\cos }^2}x}}} \right)dx} = \left( { – 3\cos x – 2\tan x} \right)\left| \begin{array}{l}\frac{\pi }{4}\\0\end{array} \right. = 1 – \frac{{3\sqrt 2 }}{2}\)

d) \(I = \int\limits_1^2 {\left( {2{e^x} – \frac{1}{x}} \right)dx} = \left( {2{e^x} – \ln \left| x \right|} \right)\left| \begin{array}{l}2\\1\end{array} \right. = 2{e^2} – \ln 2 – 2e\).