Bài tập 2.41 trang 74 Toán 12 tập 1 – Kết nối tri thức: Trong không gian Oxyz, cho các điểm A 4;2; – 1 , B 1; – 1;2 và C 0; – 2;3 . a) Tìm tọa độ của vectơ → AB

Đề bài/câu hỏi:

Trong không gian Oxyz, cho các điểm \(A\left( {4;2; – 1} \right),B\left( {1; – 1;2} \right)\) và \(C\left( {0; – 2;3} \right)\).a) Tìm tọa độ của vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và tính độ dài đoạn thẳng AB.b) Tìm tọa độ điểm M sao cho \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CM} = \overrightarrow 0 \).c) Tìm tọa độ điểm N thuộc mặt phẳng (Oxy), sao cho A, B, N thẳng hàng.

Hướng dẫn:

a) Sử dụng kiến thức về thiết lập tọa độ của vectơ theo tọa độ hai đầu mút để tìm tọa độ: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \(M\left( {{x_M},{y_M},{z_M}} \right)\) và \(N\left( {{x_N};{y_N};{z_N}} \right)\).

Khi đó, \(\overrightarrow {MN} = \left( {{x_N} – {x_M};{y_N} – {y_M};{z_N} – {z_M}} \right)\).

b) Sử dụng kiến thức về tọa độ của vectơ trong không gian để tìm tọa độ điểm M: Trong không gian, cho hai vectơ \(\overrightarrow a = \left( {x;y;z} \right)\) và \(\overrightarrow b = \left( {x’;y’;z’} \right)\). Khi đó, \(\overrightarrow a = \overrightarrow b \) nếu và chỉ nếu \(\left\{ \begin{array}{l}x = x’\\y = y’\\z = z’\end{array} \right.\).

c) Sử dụng kiến thức về hai vectơ cùng phương để chứng minh ba điểm thẳng hàng: Nếu \(\overrightarrow {MN} = k\overrightarrow {MP} \) (k là số thực) thì \(\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {MP} \) cùng phương và ba điểm M, N, P thẳng hàng.

Lời giải:

a) \(\overrightarrow {AB} = \left( {1 – 4; – 1 – 2;2 + 1} \right) = \left( { – 3; – 3;3} \right) \Rightarrow \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {{{\left( { – 3} \right)}^2} + {{\left( { – 3} \right)}^2} + {3^2}} = 3\sqrt 3 \)

b) Gọi M (x; y; z) thì \(\overrightarrow {MC} = \left( { – x; – 2 – y,3 – z} \right)\).

Vì \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CM} = \overrightarrow 0 \Rightarrow \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {MC} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} – x = – 3\\ – 2 – y = – 3\\3 – z = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 1\\z = 0\end{array} \right.\). Do đó, M(3; 1; 0).

c) Vì N thuộc mặt phẳng (Oxy) nên tọa độ điểm N là N(x; y; 0)

Ta có: \(\overrightarrow {AN} \left( {x – 4;y – 2;1} \right);\overrightarrow {BN} \left( {x – 1;y + 1; – 2} \right)\)

Để A, B, N thẳng hàng thì hai vectơ \(\overrightarrow {AN} ,\overrightarrow {BN} \) cùng phương. Do đó, \(\overrightarrow {AN} = k\overrightarrow {BN} \) (với k là số thực bất kì)

Suy ra, \(\left\{ \begin{array}{l}x – 4 = k\left( {x – 1} \right)\\y – 2 = k\left( {y + 1} \right)\\1 = – 2k\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x – 4 = – \frac{1}{2}\left( {x – 1} \right)\\y – 2 = – \frac{1}{2}\left( {y + 1} \right)\\k = \frac{{ – 1}}{2}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 1\end{array} \right.\). Vậy N(3; 1)