Bài tập 11 trang 91 Toán 12 tập 2 – Kết nối tri thức: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d: x = 2 – ty = 3z = – 1 + 2t . và mặt phẳng P

Đề bài/câu hỏi:

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 – t\\y = 3\\z = – 1 + 2t\end{array} \right.\) và mặt phẳng \(\left( P \right):2x – y – 2z + 1 = 0\). Cosin của góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) là

A. \(\frac{{2\sqrt 5 }}{5}\).

B. \(\frac{{\sqrt 5 }}{5}\).

C. \(\frac{{2\sqrt 3 }}{5}\).

D. \(\frac{{\sqrt 3 }}{5}\).

Hướng dẫn:

Sử dụng kiến thức về góc giữa đường thẳng và mặt phẳng để tính: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(\Delta \) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {a;b;c} \right)\). và mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {A;B;C} \right)\). Khi đó: \(\sin \left( {\Delta ,\left( P \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow n } \right)} \right| = \frac{{\left| {aA + bB + cC} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} .\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\)

Lời giải:

Đường thẳng d có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( { – 1;0;2} \right)\), mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {2; – 1; – 2} \right)\). Ta có: \(\sin \left( {d,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {\left( { – 1} \right).2 + 0.\left( { – 1} \right) + 2.\left( { – 2} \right)} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { – 1} \right)}^2} + {0^2} + {2^2}} .\sqrt {{2^2} + {{\left( { – 1} \right)}^2} + {{\left( { – 2} \right)}^2}} }} = \frac{6}{{3\sqrt 5 }} = \frac{{2\sqrt 5 }}{5}\)

Do đó, \(\cos \left( {d,\left( P \right)} \right) = \sqrt {1 – {{\left( {\frac{{2\sqrt 5 }}{5}} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt 5 }}{5}\)

Chọn B