Sử dụng kiến thức về cách tìm giá trị lớn nhất của hàm số trên một đoạn để tính. Trả lời Giải bài tập 1.13 trang 19 SGK Toán 12 tập 1 – Kết nối tri thức – Bài 2. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số. Trong các hình chữ nhật có chu vi là 24cm, hãy tìm hình chữ nhật có diện tích lớn nhất….
Đề bài/câu hỏi:
Trong các hình chữ nhật có chu vi là 24cm, hãy tìm hình chữ nhật có diện tích lớn nhất.
Hướng dẫn:
Sử dụng kiến thức về cách tìm giá trị lớn nhất của hàm số trên một đoạn để tính: Giả sử \(y = f\left( x \right)\) là hàm số liên tục trên \(\left[ {a;b} \right]\) và có đạo hàm trên (a; b), có thể trừ ra tại một số hữu hạn điểm mà tại đó hàm số không có đạo hàm. Giả sử chỉ có hữu hạn điểm trong đoạn \(\left[ {a;b} \right]\) mà đạo hàm \(f’\left( x \right) = 0\).
Các bước tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\):
1. Tìm các điểm \({x_1},{x_2},…{x_n} \in \left( {a;b} \right)\), tại đó \(f’\left( x \right) = 0\) hoặc không tồn tại.
2. Tính \(f\left( {{x_1}} \right);f\left( {{x_2}} \right);…;f\left( {{x_n}} \right)\), f(a) và f(b).
3. Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên.
Ta có: \(M = \mathop {\max }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f\left( x \right),m = \mathop {\min }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f\left( x \right)\)
Lời giải:
Gọi chiều dài của hình chữ nhật là x (cm, \(0 < x < 12\))
Chiều rộng của hình chữ nhật là \(12 – x\left( {cm} \right)\)
Diện tích của hình chữ nhật là: \(x\left( {12 – x} \right) = – {x^2} + 12x\;\left( {c{m^2}} \right)\)
Đặt \(S\left( x \right) = – {x^2} + 12x,x \in \left( {0;12} \right)\)
\(S’\left( x \right) = – 2x + 12,S’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 6\left( {tm} \right)\)
Bảng biến thiên:
Do đó, trong các hình có cùng chu vi thì hình chữ nhật có diện tích lớn nhất là \(36c{m^2}\).