Bài tập 1.12 trang 19 Toán 12 tập 1 – Kết nối tri thức: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau: a) y = 2x^3 – 6x + 3

Đề bài/câu hỏi:

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau:

a) \(y = 2{x^3} – 6x + 3\) trên đoạn \(\left[ { – 1;2} \right]\);

b) \(y = {x^4} – 3{x^2} + 2\) trên đoạn \(\left[ {0;3} \right]\);

c) \(y = x – \sin 2x\) trên đoạn \(\left[ {0;\pi } \right]\);

d) \(y = \left( {{x^2} – x} \right){e^x}\) trên đoạn \(\left[ {0;1} \right]\).

Hướng dẫn:

Sử dụng kiến thức về cách tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn để tính: Giả sử \(y = f\left( x \right)\) là hàm số liên tục trên \(\left[ {a;b} \right]\) và có đạo hàm trên (a; b), có thể trừ ra tại một số hữu hạn điểm mà tại đó hàm số không có đạo hàm. Giả sử chỉ có hữu hạn điểm trong đoạn \(\left[ {a;b} \right]\) mà đạo hàm \(f’\left( x \right) = 0\).

Các bước tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\):

1. Tìm các điểm \({x_1},{x_2},…{x_n} \in \left( {a;b} \right)\), tại đó \(f’\left( x \right) = 0\) hoặc không tồn tại.

2. Tính \(f\left( {{x_1}} \right);f\left( {{x_2}} \right);…;f\left( {{x_n}} \right)\), f(a) và f(b).

3. Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên. Ta có:

\(M = \mathop {\max }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f\left( x \right),m = \mathop {\min }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f\left( x \right)\)

Lời giải:

a) Ta có: \(y’ = 6{x^2} – 6,y’ = 0 \Leftrightarrow 6{x^2} – 6 = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1\) (thỏa mãn)

\(y\left( { – 1} \right) = 7,y\left( 1 \right) = – 1,y\left( 2 \right) = 7\)

Do đó, \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { – 1;2} \right]} y = y\left( 2 \right) = y\left( { – 1} \right) = 7,\mathop {\min }\limits_{\left[ { – 1;2} \right]} y = y\left( 1 \right) = – 1\)

b) Ta có: \(y’ = 4{x^3} – 6x,y’ = 0 \Leftrightarrow 4{x^3} – 6x = 0 \Leftrightarrow x = 0;x = \frac{{\sqrt 6 }}{2}\) (do \(x \in \left[ {0;3} \right]\))

\(y\left( 0 \right) = 2;y\left( {\frac{{\sqrt 6 }}{2}} \right) = \frac{{ – 1}}{4};y\left( 3 \right) = 56\)

Do đó, \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;3} \right]} y = y\left( 3 \right) = 56,\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;3} \right]} y = y\left( {\frac{{\sqrt 6 }}{2}} \right) = \frac{{ – 1}}{4}\)

c) Ta có: \(y’ = 1 – 2\cos 2x,y’ = 0 \Leftrightarrow 1 – 2\cos 2x = 0 \Leftrightarrow \cos 2x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi }{6} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Mà \(x \in \left[ {0;\pi } \right] \Rightarrow x = \frac{\pi }{6};x = \frac{{5\pi }}{6}\)

\(y\left( 0 \right) = 0;y\left( {\frac{\pi }{6}} \right) = \frac{\pi }{6} – \frac{{\sqrt 3 }}{2};y\left( {\frac{{5\pi }}{6}} \right) = \frac{{5\pi }}{6} + \frac{{\sqrt 3 }}{2};y\left( \pi \right) = \pi \)

Do đó, \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;\pi } \right]} y = y\left( {\frac{{5\pi }}{6}} \right) = \frac{{5\pi }}{6} + \frac{{\sqrt 3 }}{2},\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;\pi } \right]} y = y\left( {\frac{\pi }{6}} \right) = \frac{\pi }{6} – \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)

d) \(y’ = \left( {2x – 1} \right){e^x} + \left( {{x^2} – x} \right){e^x} = {e^x}\left( {{x^2} + x – 1} \right)\)

\(y’ = 0 \Leftrightarrow {e^x}\left( {{x^2} + x – 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{ – 1 + \sqrt 5 }}{2}\) (do \(x \in \left[ {0;1} \right]\))

\(y\left( 0 \right) = 0;y\left( {\frac{{ – 1 + \sqrt 5 }}{2}} \right) = \left( {2 – \sqrt 5 } \right){e^{\frac{{ – 1 + \sqrt 5 }}{2}}};y\left( 1 \right) = 0\)

Do đó, \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;1} \right]} y = y\left( 0 \right) = y\left( 1 \right) = 0,\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;1} \right]} y = y\left( {\frac{{ – 1 + \sqrt 5 }}{2}} \right) = \left( {2 – \sqrt 5 } \right){e^{\frac{{ – 1 + \sqrt 5 }}{2}}}\)