Giải Câu hỏi Thực hành 1 trang 62 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo – Giải mục 1 trang 61 – 62 – 63 SGK Toán 12 tập 2. Hướng dẫn: Mặt cầu \(\left( S \right)\) tâm \(I\left( {a;b;c} \right)\) và bán kính \(R\.
Câu hỏi/Đề bài:
Viết phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\):
a) Có tâm \(I\left( {3; – 2; – 4} \right)\), bán kính \(R = 10\).
b) Có đường kính \(EF\) với \(E\left( {3; – 1;8} \right)\) và \(F\left( {7; – 3;0} \right)\).
c) Có tâm \(M\left( { – 2;1;3} \right)\) và đi qua điểm \(N\left( {2; – 3; – 4} \right)\).
Hướng dẫn:
a) Mặt cầu \(\left( S \right)\) tâm \(I\left( {a;b;c} \right)\) và bán kính \(R\) có phương trình là
\({\left( {x – a} \right)^2} + {\left( {y – b} \right)^2} + {\left( {z – c} \right)^2} = {R^2}\)
b) Mặt cầu \(\left( S \right)\) có đường kính \(EF\), suy ra \(\left( S \right)\) có tâm \(I\) là trung điểm của \(EF\) và bán kính bằng \(\frac{{EF}}{2}\), từ đó viết phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\) theo như câu a.
c) Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(M\) và đi qua \(N\), nên \(MN\) là một bán kính của \(\left( S \right)\), từ đó viết phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\) theo như câu a.
Lời giải:
a) Mặt cầu \(\left( S \right)\) tâm \(I\left( {3; – 2; – 4} \right)\), bán kính \(R = 10\) có phương trình là
\({\left( {x – 3} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z + 4} \right)^2} = 100\).
b) Mặt cầu \(\left( S \right)\) có đường kính \(EF\), suy ra \(\left( S \right)\) có tâm \(I\) là trung điểm của \(EF\) và bán kính bằng \(\frac{{EF}}{2}\).
Ta có \(E\left( {3; – 1;8} \right)\) và \(F\left( {7; – 3;0} \right)\), suy ra \(I\left( {5; – 2;4} \right)\).
Ta có \(EF = \sqrt {{{\left( {3 – 7} \right)}^2} + {{\left( { – 1 + 3} \right)}^2} + {{\left( {8 – 0} \right)}^2}} = 2\sqrt {21} \), suy ra \(R = \frac{{EF}}{2} = \sqrt {21} \).
Vậy phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\) là \({\left( {x – 5} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z – 4} \right)^2} = 21\).
c) Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(M\) và đi qua \(N\), nên \(MN\) là một bán kính của \(\left( S \right)\).
Ta có \(MN = \sqrt {{{\left( { – 2 – 2} \right)}^2} + {{\left( {1 + 3} \right)}^2} + {{\left( {3 + 4} \right)}^2}} = 9\).
Vậy phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\) là \({\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y – 1} \right)^2} + {\left( {z – 3} \right)^2} = 81\).