Sử dụng tính chất của tích phân \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = \int\limits_a^c {f\left( x \right)dx} + \int\limits_c^b {f\left( x \right)dx} \. Phân tích, đưa ra lời giải Giải bài tập 4 trang 20 SGK Toán 12 tập 2 – Chân trời sáng tạo – Bài 2. Tích phân. Tính các tích phân sau: a) \(\int\limits_{ – 2}^1 {\left| {2x + 2} \right|dx} \…
Đề bài/câu hỏi:
Tính các tích phân sau:
a) \(\int\limits_{ – 2}^1 {\left| {2x + 2} \right|dx} \)
b) \(\int\limits_0^4 {\left| {{x^2} – 4} \right|dx} \)
c) \(\int\limits_{ – \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {\left| {\sin x} \right|dx} \)
Hướng dẫn:
Sử dụng tính chất của tích phân \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = \int\limits_a^c {f\left( x \right)dx} + \int\limits_c^b {f\left( x \right)dx} \) để phá dấu giá trị tuyệt đối và đưa về tính các tích phân đơn giản.
Lời giải:
a) \(\int\limits_{ – 2}^1 {\left| {2x + 2} \right|dx} = \int\limits_{ – 2}^{ – 1} {\left| {2x + 2} \right|dx} + \int\limits_{ – 1}^1 {\left| {2x + 2} \right|dx} = \int\limits_{ – 2}^{ – 1} { – \left( {2x + 2} \right)dx} + \int\limits_{ – 1}^1 {\left( {2x + 2} \right)dx} \)
\( = – \left. {\left( {{x^2} + 2x} \right)} \right|_{ – 2}^{ – 1} + \left. {\left( {{x^2} + 2x} \right)} \right|_{ – 1}^1 = – \left[ {\left( { – 1} \right) – 0} \right] + \left[ {3 – \left( { – 1} \right)} \right] = 5\)
b) \(\int\limits_0^4 {\left| {{x^2} – 4} \right|dx} = \int\limits_0^2 {\left| {{x^2} – 4} \right|dx} + \int\limits_2^4 {\left| {{x^2} – 4} \right|dx} = \int\limits_0^2 {\left( {4 – {x^2}} \right)dx} + \int\limits_2^4 {\left( {{x^2} – 4} \right)dx} \)
\( = \left. {\left( {4x – \frac{{x{\rm{\^3}}}}{3}} \right)} \right|_0^2 + \left. {\left( {\frac{{x{\rm{\^3}}}}{3} – 4x} \right)} \right|_2^4 = \left( {\frac{{16}}{3} – 0} \right) + \left[ {\frac{{16}}{3} – \left( { – \frac{{16}}{3}} \right)} \right] = 16\)
c) \(\int\limits_{ – \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {\left| {\sin x} \right|dx} = \int\limits_{ – \frac{\pi }{2}}^0 {\left| {\sin x} \right|dx} + \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left| {\sin x} \right|dx} = \int\limits_{ – \frac{\pi }{2}}^0 {\left( { – \sin x} \right)dx} + \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin xdx} \)
\( = – \left. {\left( { – \cos x} \right)} \right|_{ – \frac{\pi }{2}}^0 + \left. {\left( { – \cos x} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} = – \left[ { – 1 – 0} \right] + \left[ {0 – \left( { – 1} \right)} \right] = 2\)