Bài tập 3 trang 20 Toán 12 tập 2 – Chân trời sáng tạo: Tính các tích phân sau: a) ∫limits_ – 2^4 x + 1 x – 1 dx b) ∫limits_1^2 x^2 – 2x + 1/xdx

Đề bài/câu hỏi:

Tính các tích phân sau:

a) \(\int\limits_{ – 2}^4 {\left( {x + 1} \right)\left( {x – 1} \right)dx} \)

b) \(\int\limits_1^2 {\frac{{{x^2} – 2x + 1}}{x}dx} \)

c) \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {3\sin x – 2} \right)dx} \)

d) \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{{{\sin }^2}x}}{{1 + \cos x}}dx} \)

Hướng dẫn:

Sử dụng tính chất tích phân của một tổng, một hiệu để đưa về tính các tích phân đơn giản.

Lời giải:

a) \(\int\limits_{ – 2}^4 {\left( {x + 1} \right)\left( {x – 1} \right)dx} = \int\limits_{ – 2}^4 {\left( {{x^2} – 1} \right)} dx = \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} – x} \right)} \right|_{ – 2}^4 = \left( {\frac{{{4^3}}}{3} – 4} \right) – \left( {\frac{{{{\left( { – 2} \right)}^3}}}{3} – \left( { – 2} \right)} \right) = 18\)

b) \(\int\limits_1^2 {\frac{{{x^2} – 2x + 1}}{x}dx} = \int\limits_1^2 {\left( {x – 2 + \frac{1}{x}} \right)dx = \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} – 2x + \ln \left| x \right|} \right)} \right|_1^2} \)

\( = \left( {\frac{{2{\rm{^2}}}}{2} – 2.2 + \ln \left| 2 \right|} \right) – \left( {\frac{{1{\rm{^2}}}}{2} – 1.2 + \ln \left| 1 \right|} \right) = \ln 2 – \frac{1}{2}\)

c) \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {3\sin x – 2} \right)dx} = 3\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin xdx} – 2\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {dx} = 3\left. {\left( { – \cos x} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} – 2\left. {\left( x \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{2}}\)

\( = 3\left[ {\left( { – \cos \frac{\pi }{2}} \right) – \left( { – \cos 0} \right)} \right] – 2\left( {\frac{\pi }{2} – 0} \right) = 3 – \pi \)

d) \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{{{\sin }^2}x}}{{1 + \cos x}}dx} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{1 – {{\cos }^2}x}}{{1 + \cos x}}dx} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\left( {1 – \cos x} \right)\left( {1 + \cos x} \right)}}{{1 + \cos x}}dx = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {1 – \cos x} \right)dx} } \)

\( = \left. {\left( {x – \sin x} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} = \left( {\frac{\pi }{2} – \sin \frac{\pi }{2}} \right) – \left( {0 – \sin 0} \right) = \frac{\pi }{2} – 1\)