Xác định một điểm đi qua và một vectơ pháp tuyến lần lượt của các mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\), \(\left( {Oyz} \right)\). Hướng dẫn giải Giải bài tập 2 trang 42 SGK Toán 12 tập 2 – Chân trời sáng tạo – . Lập phương trình của các mặt phẳng toạ độ \(\left( {Oxy} \right)\), \(\left( {Oyz} \right)\), \(\left( {Oxz} \right)\)….
Đề bài/câu hỏi:
a) Lập phương trình của các mặt phẳng toạ độ \(\left( {Oxy} \right)\), \(\left( {Oyz} \right)\), \(\left( {Oxz} \right)\).
b) Lập phương trình của các mặt phẳng đi qua điểm \(A\left( { – 1;9;8} \right)\) và lần lượt song song với các mặt phẳng toạ độ trên.
Hướng dẫn:
a) Xác định một điểm đi qua và một vectơ pháp tuyến lần lượt của các mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\), \(\left( {Oyz} \right)\), \(\left( {Oxz} \right)\).
b) Các mặt phẳng \(\left( P \right)\), \(\left( Q \right)\), \(\left( R \right)\) đi qua \(A\left( { – 1;9;8} \right)\) và lần lượt song song với các mặt phẳng toạ độ \(\left( {Oxy} \right)\), \(\left( {Oyz} \right)\), \(\left( {Oxz} \right)\) nên sẽ có các vectơ pháp tuyến theo thứ tự là vectơ pháp tuyến của \(\left( {Oxy} \right)\), \(\left( {Oyz} \right)\), \(\left( {Oxz} \right)\)
Lời giải:
a) Các mặt phẳng toạ độ \(\left( {Oxy} \right)\), \(\left( {Oyz} \right)\), \(\left( {Oxz} \right)\) đều đi qua điểm \(O\left( {0;0;0} \right)\).
Mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) có một vectơ pháp tuyến là \(\vec k = \left( {0;0;1} \right)\) nên phương trình mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) là \(0\left( {x – 0} \right) + 0\left( {y – 0} \right) + 1\left( {z – 0} \right) = 0 \Leftrightarrow z = 0\).
Mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\) có một vectơ pháp tuyến là \(\vec i = \left( {1;0;0} \right)\) nên phương trình mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\) là \(1\left( {x – 0} \right) + 0\left( {y – 0} \right) + 0\left( {z – 0} \right) = 0 \Leftrightarrow x = 0\).
Mặt phẳng \(\left( {Oxz} \right)\) có một vectơ pháp tuyến là \(\vec j = \left( {0;1;0} \right)\) nên phương trình mặt phẳng \(\left( {Oxz} \right)\) là \(0\left( {x – 0} \right) + 1\left( {y – 0} \right) + 0\left( {z – 0} \right) = 0 \Leftrightarrow y = 0\)
b) Gọi \(\left( P \right)\), \(\left( Q \right)\), \(\left( R \right)\) đi qua \(A\left( { – 1;9;8} \right)\) và lần lượt song song với các mặt phẳng toạ độ \(\left( {Oxy} \right)\), \(\left( {Oyz} \right)\), \(\left( {Oxz} \right)\).
Mặt phẳng \(\left( P \right)\) song song với \(\left( {Oxy} \right)\), nên \(\left( P \right)\) có một vectơ pháp tuyến là \(\vec k = \left( {0;0;1} \right)\). Phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) là \(0\left( {x + 1} \right) + 0\left( {y – 9} \right) + 1\left( {z – 8} \right) = 0 \Leftrightarrow z – 8 = 0\)
Mặt phẳng \(\left( Q \right)\) song song với \(\left( {Oyz} \right)\), nên \(\left( Q \right)\) có một vectơ pháp tuyến là \(\vec i = \left( {1;0;0} \right)\). Phương trình mặt phẳng \(\left( Q \right)\) là \(1\left( {x + 1} \right) + 0\left( {y – 9} \right) + 0\left( {z – 8} \right) = 0 \Leftrightarrow x + 1 = 0\)
Mặt phẳng \(\left( R \right)\) song song với \(\left( {Oxy} \right)\), nên \(\left( R \right)\) có một vectơ pháp tuyến là \(\vec j = \left( {0;1;0} \right)\). Phương trình mặt phẳng \(\left( R \right)\) là \(0\left( {x + 1} \right) + 1\left( {y – 9} \right) + 0\left( {z – 8} \right) = 0 \Leftrightarrow y – 9 = 0\)