Ý a: Áp dụng công thức tính nguyên hàm của hàm số mũ cơ số bất kỳ: \(\int {{a^{kx}}dx = \frac{{{a^{kx}}}}{{k\ln a}} + C} \). Phân tích, đưa ra lời giải Giải bài 4.5 trang 8 sách bài tập toán 12 – Kết nối tri thức – . Tìm: a) (int {{{left( {{2^x} + {3^x}} right)}^2}{rm{ }}} dx); b) (int {{{left( {{e^x} – {e^{ – x}}} right)}^2}} {rm{…
Đề bài/câu hỏi:
Tìm:
a) \(\int {{{\left( {{2^x} + {3^x}} \right)}^2}{\rm{ }}} dx\);
b) \(\int {{{\left( {{e^x} – {e^{ – x}}} \right)}^2}} {\rm{ }}dx\).
Hướng dẫn:
Ý a: Áp dụng công thức tính nguyên hàm của hàm số mũ cơ số bất kỳ: \(\int {{a^{kx}}dx = \frac{{{a^{kx}}}}{{k\ln a}} + C} \).
Ý b: Áp dụng công thức tính nguyên hàm của hàm số mũ cơ số e: \(\int {{e^{kx}}dx = \frac{{{e^{kx}}}}{k} + C} \).
Lời giải:
a) Ta có \(\int {{{\left( {{2^x} + {3^x}} \right)}^2}{\rm{ }}} dx = \int {\left( {{2^{2x}}{\rm{ + }}2 \cdot {6^x}{\rm{ + }}{3^{2x}}} \right){\rm{ }}} dx = \int {\left( {{4^x}{\rm{ + }}2 \cdot {6^x}{\rm{ + }}{9^x}} \right){\rm{ }}} dx = \frac{{{4^x}}}{{2\ln 2}} + 2 \cdot \frac{{{6^x}}}{{\ln 6}} + \frac{{{9^x}}}{{2\ln 3}} + C\).
b) Ta có \({\int {\left( {{e^x} – {e^{ – x}}} \right)} ^2}{\rm{ }}dx = \int {\left( {{e^{2x}} – 2 + {e^{ – 2x}}} \right)dx = } \frac{{{e^{2x}}}}{2} – 2x – \frac{{{e^{ – 2x}}}}{{ – 2}} + C = \frac{{{e^{2x}} – {e^{ – 2x}}}}{2} – 2x + C\).