Sử dụng các biến đổi, phép toán với vectơ. Gợi ý giải Giải bài 2.29 trang 54 sách bài tập toán 12 – Kết nối tri thức – Bài 8. Biểu thức tọa độ của các phép toán vecto. Trong không gian \(Oxyz\), cho tam giác \(ABC\) với \(A\left( {3;5;2} \right)\), \(B\left( {0;6;2} \right)\) và \(C\left( {2;3;6} \right)\)….
Đề bài/câu hỏi:
Trong không gian \(Oxyz\), cho tam giác \(ABC\) với \(A\left( {3;5;2} \right)\), \(B\left( {0;6;2} \right)\) và \(C\left( {2;3;6} \right)\). Hãy giải tam giác \(ABC\).
Hướng dẫn:
Sử dụng các biến đổi, phép toán với vectơ, công thức tích vô hướng để lần lượt tìm tất cả các cạnh và các góc của tam giác.
Lời giải:
Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( { – 3;1;0} \right)\) và \(\overrightarrow {AC} = \left( { – 1; – 2;4} \right)\) suy ra \(AB = \sqrt {9 + 1} = \sqrt {10} \) và \(AC = \sqrt {1 + 4 + 16} = \sqrt {21} \).
\(\cos \widehat {BAC} = \cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \frac{{\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} }}{{AB \cdot AC}} = \frac{{3 – 2}}{{\sqrt {10} \cdot \sqrt {21} }} = \frac{1}{{\sqrt {210} }}\). Suy ra \(\widehat {BAC} \approx {86,04^ \circ }\).
Ta có \(\overrightarrow {BC} = \left( {2; – 3;4} \right)\) và \(\overrightarrow {BA} = \left( {3; – 1;0} \right)\) suy ra \(BC = \sqrt {4 + 9 + 16} = \sqrt {29} \) và \(AB = \sqrt {10} \).
\(\cos \widehat {ABC} = \cos \left( {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BC} } \right) = \frac{{\overrightarrow {BA} \cdot \overrightarrow {BC} }}{{AB \cdot BC}} = \frac{{6 + 3}}{{\sqrt {10} \cdot \sqrt {29} }} = \frac{9}{{\sqrt {290} }}\). Suy ra \(\widehat {ABC} \approx {58,096^ \circ }\).
Do đó \(\widehat {BCA} \approx {39,92^ \circ }\). Vậy tam giác \(ABC\) có các cạnh là \(AB = \sqrt {10} \), \(BC = \sqrt {29} \), \(AC = \sqrt {21} \);
các góc là \(\widehat {BAC} \approx {86,04^ \circ }\), \(\widehat {ABC} \approx {54,04^ \circ }\), \(\widehat {BCA} \approx {35,864^ \circ }\).