Sử dụng biến đổi tương đương, từng bước biến đổi đẳng thức ban đầu (đẳng thức về khái niệm trọng tâm của tứ diện) để. Trả lời Giải bài 2.28 trang 54 sách bài tập toán 12 – Kết nối tri thức – Bài 8. Biểu thức tọa độ của các phép toán vecto. Cho tứ diện \(ABCD\). Trọng tâm \(G\) của tứ diện là điểm duy nhất thỏa mãn đẳng thức \(\overrightarrow {GA}…
Đề bài/câu hỏi:
Cho tứ diện \(ABCD\). Trọng tâm \(G\) của tứ diện là điểm duy nhất thỏa mãn đẳng thức
\(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = \overrightarrow 0 \). Chứng minh rằng tọa độ của điểm \(G\) được cho bởi công thức:
\({x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C} + {x_D}}}{4};{y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C} + {y_D}}}{4};{z_G} = \frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C} + {z_D}}}{4}.\)
Hướng dẫn:
Sử dụng biến đổi tương đương, từng bước biến đổi đẳng thức ban đầu (đẳng thức về khái niệm trọng tâm của tứ diện) để dẫn đến công thức cần chứng minh.
Lời giải:
\(\begin{array}{l}\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = \left( \begin{array}{l}{x_A} – {x_G} + {x_B} – {x_G} + {x_C} – {x_G} + {x_D} – {x_G};{y_A} – {y_G} + {y_B} – {y_G} + {y_C} – {y_G} + {y_D} – {y_G};\\{z_A} – {z_G} + {z_B} – {z_G} + {z_C} – {z_G} + {z_D} – {z_G}\end{array} \right)\\ = \left( {{x_A} + {x_B} + {x_C} + {x_D} – 4{x_G};{y_A} + {y_B} + {y_C} + {y_D} – 4{y_G};{z_A} + {z_B} + {z_C} + {z_D} – 4{z_G}} \right)\end{array}\)
Ta có \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_A} + {x_B} + {x_C} + {x_D} – 4{x_G} = 0\\{y_A} + {y_B} + {y_C} + {y_D} – 4{y_G} = 0\\{z_A} + {z_B} + {z_C} + {z_D} – 4{z_G} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C} + {x_D}}}{4}\\{y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C} + {y_D}}}{4}\\{z_G} = \frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C} + {z_D}}}{4}\end{array} \right.\)
Suy ra tọa độ \(G\) được xác định theo công thức \({x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C} + {x_D}}}{4};{y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C} + {y_D}}}{4};\)
\({z_G} = \frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C} + {z_D}}}{4}\)(điều phải chứng minh).