‒ Sử dụng công thức tính khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm: \(R = {a_{m + 1}} – {a_1}\). Gợi ý giải Giải bài 6 trang 105 sách bài tập toán 12 – Chân trời sáng tạo – Bài 2. Phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm. Chị Yến thống kê lại thời gian chạy cự li 200 m của mình ở một số lần luyện tập…
Đề bài/câu hỏi:
Chị Yến thống kê lại thời gian chạy cự li 200 m của mình ở một số lần luyện tập trong năm 2022 và 2023 như sau:
a) Hãy tính các số đặc trưng đo mức độ phân tán thời gian chạy mỗi năm của chị Yến (kết quả làm tròn đến hàng phần nghìn).
b) Độ phân tán của mẫu số liệu cho biết điều gì?
Hướng dẫn:
‒ Sử dụng công thức tính khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm: \(R = {a_{m + 1}} – {a_1}\).
‒ Sử dụng công thức tính các tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm:
Tứ phân vị thứ \(k\) được xác định như sau: \({Q_k} = {u_m} + \frac{{\frac{{kn}}{4} – C}}{{{n_m}}}\left( {{u_{m + 1}} – {u_m}} \right)\)
trong đó:
• \(n = {n_1} + {n_2} + … + {n_k}\) là cỡ mẫu;
• \(\left[ {{u_m};{u_{m + 1}}} \right)\) là nhóm chứa tứ phân vị thứ \(k\);
• \({n_m}\) là tần số của nhóm chứa tứ phân vị thứ \(k\);
• \(C = {n_1} + {n_2} + … + {n_{m – 1}}\).
‒ Sử dụng công thức tính khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm: \(\Delta Q = {Q_3} – {Q_1}\).
‒ Sử dụng công thức tính phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm:
\(\begin{array}{l}{S^2} = \frac{1}{n}\left[ {{n_1}{{\left( {{c_1} – \overline x } \right)}^2} + {n_2}{{\left( {{c_2} – \overline x } \right)}^2} + … + {n_k}{{\left( {{c_k} – \overline x } \right)}^2}} \right]\\ & = \frac{1}{n}\left[ {{n_1}c_1^2 + {n_2}c_2^2 + … + {n_k}c_k^2} \right] – {\overline x ^2}\end{array}\)
Lời giải:
a) Ta có bảng sau:
*Mẫu số liệu năm 2022:
Khoảng biến thiên của thời gian chạy cự li 200 m của chị Yến trong năm 2022 là:
\({R_A} = 24,2 – 23,7 = 0,5\) (giây).
• Tứ phân vị của thời gian chạy cự li 200 m của chị Yến trong năm 2022:
\({n_A} = 11 + 15 + 7 + 0 + 5 = 38\)
Gọi \({x_1};{x_2};…;{x_{38}}\) là mẫu số liệu gốc gồm thời gian chạy cự li 200 m trong 38 lần luyện tập của chị Yến trong năm 2022 theo thứ tự không giảm.
Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là \({x_{10}} \in \left[ {23,7;23,8} \right)\). Do đó tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là:
\({Q_{A1}} = 23,7 + \frac{{\frac{{1.38}}{4} – 0}}{{11}}\left( {23,8 – 23,7} \right) = \frac{{5233}}{{220}}\)
Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là \({x_{29}} \in \left[ {23,9;24} \right)\). Do đó tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là:
\({Q_{A3}} = 23,9 + \frac{{\frac{{3.38}}{4} – \left( {11 + 15} \right)}}{7}\left( {24 – 23,9} \right) = \frac{{3351}}{{140}}\)
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là:
\(\Delta {Q_A} = {Q_{A3}} – {Q_{A1}} = \frac{{3351}}{{140}} – \frac{{5233}}{{220}} \approx 0,15\) (giây).
• Phương sai và độ lệch chuẩn của cân nặng của các trái cam thu hoạch năm 2022:
Cỡ mẫu \({n_A} = 38\)
Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là:
\(\overline {{x_A}} = \frac{{11.23,75 + 15.23,85 + 7.23,95 + 5.24,15}}{{38}} = \frac{{4537}}{{190}}\)
Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm đó là:
\(S_A^2 = \frac{1}{{38}}\left( {{{11.23,75}^2} + {{15.23,85}^2} + {{7.23,95}^2} + {{5.24,15}^2}} \right) – {\left( {\frac{{4537}}{{190}}} \right)^2} \approx 0,016\)
Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm đó là: \({S_A} \approx \sqrt {0,016} \approx 0,126\).
*Mẫu số liệu năm 2023:
Khoảng biến thiên của thời gian chạy cự li 200 m của chị Yến trong năm 2023 là:
\({R_B} = 24 – 23,7 = 0,3\) (giây).
• Tứ phân vị của thời gian chạy cự li 200 m của chị Yến trong năm 2023:
\({n_B} = 28 + 18 + 4 = 50\)
Gọi \({x_1};{x_2};…;{x_{50}}\) là mẫu số liệu gốc gồm thời gian chạy cự li 200 m trong 50 lần luyện tập của chị Yến trong năm 2023 theo thứ tự không giảm.
Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là \({x_{13}} \in \left[ {23,7;23,8} \right)\). Do đó tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là:
\({Q_{B1}} = 23,7 + \frac{{\frac{{1.50}}{4} – 0}}{{28}}\left( {23,8 – 23,7} \right) = \frac{{13297}}{{560}}\)
Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là \({x_{38}} \in \left[ {23,8;23,9} \right)\). Do đó tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là:
\({Q_{B3}} = 23,8 + \frac{{\frac{{3.50}}{4} – 28}}{{18}}\left( {23,9 – 23,8} \right) = \frac{{8587}}{{360}}\)
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là:
\(\Delta {Q_B} = {Q_{B3}} – {Q_{B1}} = \frac{{8587}}{{360}} – \frac{{13297}}{{560}} = \frac{{109}}{{1008}} \approx 0,11\) (giây).
• Phương sai và độ lệch chuẩn của cân nặng của các trái cam thu hoạch năm 2022:
Cỡ mẫu \({n_B} = 50\)
Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là:
\(\overline {{x_B}} = \frac{{28.23,75 + 18.23,85 + 4.23,95}}{{50}} = \frac{{11901}}{{500}}\)
Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm đó là:
\(S_B^2 = \frac{1}{{50}}\left( {{{28.23,75}^2} + {{18.23,85}^2} + {{4.23,95}^2}} \right) – {\left( {\frac{{11901}}{{500}}} \right)^2} \approx 0,004\)
Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm đó là: \({S_B} \approx \sqrt {0,004} \approx 0,063\).
b) Nếu so sánh theo khoảng biến thiên, theo khoảng tứ phân vị hoặc theo phương sai, độ lệch chuẩn thì ta luôn có thời gian chạy năm 2023 đồng đều hơn thời gian chạy năm 2022.