Sử dụng quy tắc hình bình hành. Giải chi tiết Giải bài 5 trang 63 sách bài tập toán 12 – Chân trời sáng tạo – . Cho hình lập phương \(ABCD.A’B’C’D’\). Gọi \(O,O’\)lần lượt là tâm của các hình vuông \(ABCD\) và \(A’B’C’D’\); \(I\…
Đề bài/câu hỏi:
Cho hình lập phương \(ABCD.A’B’C’D’\). Gọi \(O,O’\)lần lượt là tâm của các hình vuông \(ABCD\) và \(A’B’C’D’\); \(I\) là giao điểm của \(AC’\) và \(A’C\). Chứng minh rằng:
a) \(\overrightarrow {OA’} + \overrightarrow {OB’} + \overrightarrow {OC’} + \overrightarrow {OD’} = 4\overrightarrow {OO’} \);
b) \(\overrightarrow {DB} + \overrightarrow {DD’} = 2\overrightarrow {DI} \).
Hướng dẫn:
Sử dụng quy tắc hình bình hành.
Lời giải:
a) \(\overrightarrow {OA’} + \overrightarrow {OB’} + \overrightarrow {OC’} + \overrightarrow {OD’} = \left( {\overrightarrow {OA’} + \overrightarrow {OC’} } \right) + \left( {\overrightarrow {OB’} + \overrightarrow {OD’} } \right) = 2\overrightarrow {OO’} + 2\overrightarrow {OO’} = 4\overrightarrow {OO’} \)
b) Ta có: \(A’B’\parallel C{\rm{D}},A’B’ = C{\rm{D}}\)
Suy ra \(A’B’C{\rm{D}}\) là hình bình hành.
Do đó \(A’C\) và \(B’D\) cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
Vì \(I\) là trung điểm của \(A’C\) nên \(I\) là trung điểm của \(B’D\).
Suy ra \(\overrightarrow {DB} + \overrightarrow {DD’} = \overrightarrow {DB’} = 2\overrightarrow {DI} \).