Bài 5 trang 110 SBT toán 12 – Chân trời sáng tạo: Độ tuổi của các kỳ thủ trong một giải cờ vua mở rộng được ghi lại trong bảng sau

Đề bài/câu hỏi:

Độ tuổi của các kỳ thủ trong một giải cờ vua mở rộng được ghi lại trong bảng sau:

a) Hãy tính các số đặc trưng do mức độ phân tán của mẫu số liệu ghép nhóm trên (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

b) Biết rằng trong mẫu số liệu trên có một kì thủ 12 tuổi. Hỏi độ tuổi của kì thủ đó có là giá trị ngoại lệ không?

Hướng dẫn:

‒ Sử dụng công thức tính khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm: \(R = {a_{m + 1}} – {a_1}\).

‒ Sử dụng công thức tính các tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm:

Tứ phân vị thứ \(k\) được xác định như sau: \({Q_k} = {u_m} + \frac{{\frac{{kn}}{4} – C}}{{{n_m}}}\left( {{u_{m + 1}} – {u_m}} \right)\)

trong đó:

• \(n = {n_1} + {n_2} + … + {n_k}\) là cỡ mẫu;

• \(\left[ {{u_m};{u_{m + 1}}} \right)\) là nhóm chứa tứ phân vị thứ \(k\);

• \({n_m}\) là tần số của nhóm chứa tứ phân vị thứ \(k\);

• \(C = {n_1} + {n_2} + … + {n_{m – 1}}\).

‒ Sử dụng công thức tính khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm: \(\Delta Q = {Q_3} – {Q_1}\).

‒ Sử dụng công thức tính phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm:

\(\begin{array}{l}{S^2} = \frac{1}{n}\left[ {{n_1}{{\left( {{c_1} – \overline x } \right)}^2} + {n_2}{{\left( {{c_2} – \overline x } \right)}^2} + … + {n_k}{{\left( {{c_k} – \overline x } \right)}^2}} \right]\\ & = \frac{1}{n}\left[ {{n_1}c_1^2 + {n_2}c_2^2 + … + {n_k}c_k^2} \right] – {\overline x ^2}\end{array}\)

‒ Sử dụng công thức tính độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm: \(S = \sqrt {{S^2}} \).

‒ Nếu \({Q_1} – 1,5\Delta Q > a\) hoặc \({Q_3} + 1,5\Delta Q < a\) thì giá trị \(a\) là giá trị ngoại lệ.

Lời giải:

a) Ta có bảng sau:

• Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm về độ tuổi của các kỳ thủ trong một giải cờ vua mở rộng: \(R = 60 – 10 = 50\) (tuổi).

• Tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm về độ tuổi của các kỳ thủ trong một giải cờ vua mở rộng:

Cỡ mẫu: \(n = 12 + 50 + 49 + 52 + 37 = 200\)

Gọi \({x_1};{x_2};…;{x_{200}}\) là mẫu số liệu gốc gồm độ tuổi của 200 kỳ thủ trong một giải cờ vua mở rộng theo thứ tự không giảm.

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là \(\frac{1}{2}\left( {{x_{50}} + {x_{51}}} \right) \in \left[ {20;30} \right)\). Do đó tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là:

\({Q_1} = 20 + \frac{{\frac{{1.200}}{4} – 12}}{{50}}\left( {30 – 20} \right) = 27,6\)

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là \(\frac{1}{2}\left( {{x_{150}} + {x_{151}}} \right) \in \left[ {40;50} \right)\). Do đó tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là:

\({Q_3} = 40 + \frac{{\frac{{3.200}}{4} – \left( {12 + 50 + 49} \right)}}{{52}}\left( {50 – 40} \right) = 47,5\)

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là:

\(\Delta Q = {Q_3} – {Q_3} = 47,5 – 27,6 = 19,9\) (tuổi).

• Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm về độ tuổi của 200 kỳ thủ trong một giải cờ vua mở rộng:

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là:

\(\overline x = \frac{{12.15 + 50.25 + 49.35 + 52.45 + 37.55}}{{200}} = 37,6\)

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm đó là:

\({S^2} = \frac{1}{{200}}\left( {{{12.15}^2} + {{50.25}^2} + {{49.35}^2} + {{52.45}^2} + {{37.55}^2}} \right) – {37,6^2} = 142,24\)

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm đó là: \(S = \sqrt {{S^2}} = \sqrt {142,24} \approx 11,93\)

b) Ta có:

\({Q_1} – 1,5\Delta Q = 27,6 – 1,5.19,9 = – 2,25 12\)

Do đó độ tuổi của kì thủ đó không là giá trị ngoại lệ.