Các bước để xét tính đơn điệu của hàm số \(f\left( x \right)\): Bước 1. Tìm tập xác định \(D\) của hàm số. Bước 2. Giải và trình bày phương pháp giải Giải bài 4 trang 33 sách bài tập toán 12 – Chân trời sáng tạo – Bài tập cuối chương 1. Cho hàm số (y = frac{{{x^2} – 2{rm{x}} + 1}}{{{rm{x}} – 2}}). Khi đó A….
Đề bài/câu hỏi:
Cho hàm số \(y = \frac{{{x^2} – 2{\rm{x}} + 1}}{{{\rm{x}} – 2}}\). Khi đó
A. Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { – \infty ;1} \right)\) và \(\left( {3; + \infty } \right)\).
B. Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { – 1;2} \right)\) và \(\left( {2;3} \right)\).
C. Hàm số đồng biến trên \(\left( { – \infty ;2} \right)\).
D. Hàm số đồng biến trên \(\left( {1; + \infty } \right)\).
Hướng dẫn:
Các bước để xét tính đơn điệu của hàm số \(f\left( x \right)\):
Bước 1. Tìm tập xác định \(D\) của hàm số.
Bước 2. Tính đạo hàm \(f’\left( x \right)\) của hàm số. Tìm các điểm \({x_1},{x_2},…,{x_n} \in D\) mà tại đó đạo hàm \(f’\left( x \right)\) bằng 0 hoặc không tồn tại.
Bước 3. Sắp xếp các điểm \({x_1},{x_2},…,{x_n}\) theo thứ tự tăng dần, xét dấu \(f’\left( x \right)\) và lập bảng biến thiên.
Bước 4. Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
Lời giải:
Xét hàm số \(y = \frac{{{x^2} – 2{\rm{x}} + 1}}{{{\rm{x}} – 2}}\).
Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}\).
Ta có
\(\begin{array}{l}y’ = \frac{{{{\left( {{x^2} – 2{\rm{x}} + 1} \right)}^\prime }\left( {{\rm{x}} – 2} \right) – \left( {{x^2} – 2{\rm{x}} + 1} \right){{\left( {{\rm{x}} – 2} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {{\rm{x}} – 2} \right)}^2}}}\\ = \frac{{\left( {2{\rm{x}} – 2} \right)\left( {{\rm{x}} – 2} \right) – \left( {{x^2} – 2{\rm{x}} + 1} \right)}}{{{{\left( {{\rm{x}} – 2} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} – 4{\rm{x}} + 3}}{{{{\left( {{\rm{x}} – 2} \right)}^2}}}\end{array}\)
\(y’ = 0 \Leftrightarrow x = 1\) hoặc \({\rm{x}} = 3\).
Bảng biến thiên:
Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { – \infty ;1} \right)\) và \(\left( {3; + \infty } \right)\), nghịch biến trên các khoảng \(\left( {1;2} \right)\) và \(\left( {2;3} \right)\).
Chọn A.