‒ Hoành độ tâm đối xứng là nghiệm của phương trình $y”=0$. Phân tích, đưa ra lời giải Giải bài 4 trang 31 sách bài tập toán 12 – Chân trời sáng tạo – Bài 4. Khảo sát và vẽ đồ thị một số hàm cơ bản. Với giá trị nào của \(m\) thì đồ thị của hàm số \(y = – {x^3} – 3{x^2} + mx…
Đề bài/câu hỏi:
Với giá trị nào của \(m\) thì đồ thị của hàm số \(y = – {x^3} – 3{x^2} + mx + 1\) có tâm đối xứng nằm trên trục \(Ox\)? Khi đó, có thể kết luận gì về số giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành?
Hướng dẫn:
‒ Hoành độ tâm đối xứng là nghiệm của phương trình $y”=0$.
‒ Để kết luận về số giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành, ta dựa vào dấu của tung độ hai cực trị của phương trình \(y’ = 0\).
Lời giải:
\(y’=-3{{x}^{2}}-6x+m;y”=-6x-6;y”=0\Leftrightarrow x=-1\)
Tâm đối xứng \(I\) của đồ thị hàm số có tung độ \(y = – {\left( { – 1} \right)^3} – 3.{\left( { – 1} \right)^2} + m.\left( { – 1} \right) + 1 = – m – 1\).
\(I\) nằm trên trục \(Ox \Leftrightarrow y = 0 \Leftrightarrow – m – 1 = 0 \Leftrightarrow m = – 1\).
Khi \(m = – 1\), hàm số có dạng \(y = – {x^3} – 3{x^2} – x + 1\).
Khi đó \(y’ = – 3{x^2} – 6x – 1\).
Phương trình \(y’ = 0\) có biệt thức \(\Delta ‘ = {\left( { – 3} \right)^2} – \left( { – 3} \right).\left( { – 1} \right) = 6 > 0\). Do đó phương trình \(y’ = 0\) có hai nghiệm phân biệt, suy ra đồ thị hàm số có hai cực trị đối xứng qua \(I\left( { – 1;0} \right)\).
Do đó tung độ của hai cực trị trái dấu nhau nên đồ thị hàm số cắt trục \(Ox\) tại 3 điểm phân biệt.