Bài 2 trang 10 SBT toán 12 – Chân trời sáng tạo: Xét tính đơn điệu và tìm cực trị của các hàm số: a) y = – x^3 – 3x^2 + 24x – 1

Đề bài/câu hỏi:

Xét tính đơn điệu và tìm cực trị của các hàm số:

a) \(y = – {x^3} – 3{x^2} + 24x – 1\);

b) \(y = {x^3} – 8{x^2} + 5x + 2\);

c) \(y = {x^3} + 2{x^2} + 3x + 1\);

d) \(y = – 3{x^3} + 3{x^2} – x + 2\).

Hướng dẫn:

Các bước để xét tính đơn điệu và tìm cực trị của hàm số \(f\left( x \right)\):

Bước 1. Tìm tập xác định \(D\) của hàm số.

Bước 2. Tính đạo hàm \(f’\left( x \right)\) của hàm số. Tìm các điểm \({x_1},{x_2},…,{x_n} \in D\) mà tại đó đạo hàm \(f’\left( x \right)\) bằng 0 hoặc không tồn tại.

Bước 3. Sắp xếp các điểm \({x_1},{x_2},…,{x_n}\) theo thứ tự tăng dần, xét dấu \(f’\left( x \right)\) và lập bảng biến thiên.

Bước 4. Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến, cực trị của hàm số.

Lời giải:

a) Xét hàm số \(y = – {x^3} – 3{x^2} + 24x – 1\).

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\).

Ta có \(y’ = – 3{x^2} – 6x + 24;y’ = 0 \Leftrightarrow x = – 4\) hoặc \(x = 2\).

Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { – 4;2} \right)\), nghịch biến trên các khoảng \(\left( { – \infty ; – 4} \right)\) và \(\left( {2; + \infty } \right)\).

Hàm số đạt cực đại tại $x=2,{{y}_{CĐ}}=27$; hàm số đạt cực tiểu tại \(x = – 4,{y_{CT}} = – 81\).

b) Xét hàm số \(y = {x^3} – 8{x^2} + 5x + 2\).

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\).

Ta có \(y’ = 3{x^2} – 16x + 5;y’ = 0 \Leftrightarrow x = 5\) hoặc \({\rm{x}} = \frac{1}{3}\).

Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { – \infty ;\frac{1}{3}} \right)\) và \(\left( {5; + \infty } \right)\), nghịch biến trên khoảng \(\left( {\frac{1}{3};5} \right)\).

Hàm số đạt cực đại tại $x=\frac{1}{3},{{y}_{CĐ}}=\frac{76}{27}$; hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 5,{y_{CT}} = – 48\).

c) Xét hàm số \(y = {x^3} + 2{x^2} + 3x + 1\).

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\).

Ta có: \(y’ = 3{x^2} + 4x + 3 = 3{\left( {x + \frac{2}{3}} \right)^2} + \frac{5}{3} > 0,\forall x \in \mathbb{R}\)

Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

Hàm số không có cực trị.

d) Xét hàm số \(y = – 3{x^3} + 3{x^2} – x + 2\).

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\).

Ta có: \(y’ = – 9{x^2} + 6x – 1 = – {\left( {3x – 1} \right)^2};y’ = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{3}\).

Bảng biến thiên:

Hàm số nghịch biến trên \(\mathbb{R}\). Hàm số không có cực trị.