‒ Tìm tiệm cận đứng: Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ – } f\left( x \right)\. Giải chi tiết Giải bài 65 trang 26 sách bài tập toán 12 – Cánh diều – Bài 3. Đường tiệm cận của đồ thị hàm số. Tìm tiệm cận đứng, tiệm cận ngang, tiệm cận xiên (nếu có) của đồ thị mỗi hàm số sau:…
Đề bài/câu hỏi:
Tìm tiệm cận đứng, tiệm cận ngang, tiệm cận xiên (nếu có) của đồ thị mỗi hàm số sau:
a) \(y = \frac{{3{\rm{x}} + 5}}{{{x^2} – 4}}\);
b) \(y = \frac{{ – {x^2} – 1}}{{4{{\rm{x}}^2} + 9}}\);
c) \(y = \frac{{3{x^2} + x}}{{1 – x}}\).
Hướng dẫn:
‒ Tìm tiệm cận đứng: Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ – } f\left( x \right)\) hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right)\), nếu một trong các giới hạn sau thoả mãn:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ – } f\left( x \right) = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ – } f\left( x \right) = – \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = – \infty \)
thì đường thẳng \(x = {x_0}\) là đường tiệm cận đứng.
‒ Tìm tiệm cận ngang: Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = {y_0}\) hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } f\left( x \right) = {y_0}\) thì đường thẳng \(y = {y_0}\) là đường tiệm cận ngang.
‒ Tìm tiệm cận xiên \(y = ax + b\left( {a \ne 0} \right)\):
\(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{x}\) và \(b = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f\left( x \right) – ax} \right]\) hoặc
\(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{x}\) và \(b = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \left[ {f\left( x \right) – ax} \right]\)
Lời giải:
a) Hàm số có tập xác định là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ { – 2;2} \right\}\).
Ta có:
• \(\mathop {\lim }\limits_{x \to – {2^ – }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to – {2^ – }} \frac{{3{\rm{x}} + 5}}{{{x^2} – 4}} = – \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to – {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to – {2^ + }} \frac{{3{\rm{x}} + 5}}{{{x^2} – 4}} = + \infty \)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} \frac{{3{\rm{x}} + 5}}{{{x^2} – 4}} = – \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{3{\rm{x}} + 5}}{{{x^2} – 4}} = + \infty \)
Vậy \(x = – 2\) và \({\rm{x}} = 2\) là các tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.
• \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{3{\rm{x}} + 5}}{{{x^2} – 4}} = 0;\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \frac{{3{\rm{x}} + 5}}{{{x^2} – 4}} = 0\)
Vậy \(y = 0\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.
b) Hàm số có tập xác định là \(\mathbb{R}\). Vậy hàm số không có tiệm cận đứng.
• \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ – {x^2} – 1}}{{4{{\rm{x}}^2} + 9}} = – \frac{1}{4};\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \frac{{ – {x^2} – 1}}{{4{{\rm{x}}^2} + 9}} = – \frac{1}{4}\)
Vậy \(y = – \frac{1}{4}\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.
c) Hàm số có tập xác định là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\).
Ta có:
• \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} \frac{{3{x^2} + x}}{{1 – x}} = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{3{x^2} + x}}{{1 – x}} = – \infty \)
Vậy \({\rm{x}} = 1\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.
• \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{3{x^2} + x}}{{1 – x}} = – \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \frac{{3{x^2} + x}}{{1 – x}} = + \infty \)
Vậy hàm số không có tiệm cận ngang.
• \(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{3{x^2} + x}}{{x\left( {1 – x} \right)}} = – 3\) và
\(b = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f\left( x \right) + 3x} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {\frac{{3{x^2} + x}}{{1 – x}} + 3x} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{4{\rm{x}}}}{{1 – x}} = – 4\)
Vậy đường thẳng \(y = – 3{\rm{x}} – 4\) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho.