‒ Tìm tiệm cận đứng: Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ – } f\left( x \right)\. Lời giải Giải bài 63 trang 26 sách bài tập toán 12 – Cánh diều – Bài 3. Đường tiệm cận của đồ thị hàm số. Tìm tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của đồ thị mỗi hàm số sau:…
Đề bài/câu hỏi:
Tìm tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của đồ thị mỗi hàm số sau:
a) \(y = \frac{{x – 1}}{{2{\rm{x}} + 3}}\);
b) \(y = – 3 + \frac{5}{{x – 4}}\);
c) \(y = \frac{{3{\rm{x}} – 7}}{{{x^2}}}\);
d) \(y = \frac{{ – 2{{\rm{x}}^2} + 1}}{{{x^2} – 2{\rm{x}} + 1}}\).
Hướng dẫn:
‒ Tìm tiệm cận đứng: Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ – } f\left( x \right)\) hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right)\), nếu một trong các giới hạn sau thoả mãn:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ – } f\left( x \right) = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ – } f\left( x \right) = – \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = – \infty \)
thì đường thẳng \(x = {x_0}\) là đường tiệm cận đứng.
‒ Tìm tiệm cận ngang: Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = {y_0}\) hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } f\left( x \right) = {y_0}\) thì đường thẳng \(y = {y_0}\) là đường tiệm cận ngang.
Lời giải:
a) Hàm số có tập xác định là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ { – \frac{3}{2}} \right\}\).
Ta có:
• \(\mathop {\lim }\limits_{x \to – {{\frac{3}{2}}^ – }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to – {{\frac{3}{2}}^ – }} \frac{{x – 1}}{{2{\rm{x}} + 3}} = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to – {{\frac{3}{2}}^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to – {{\frac{3}{2}}^ + }} \frac{{x – 1}}{{2{\rm{x}} + 3}} = – \infty \)
Vậy \(x = – \frac{3}{2}\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.
• \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x – 1}}{{2{\rm{x}} + 3}} = \frac{1}{2};\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \frac{{x – 1}}{{2{\rm{x}} + 3}} = \frac{1}{2}\)
Vậy \(y = \frac{1}{2}\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.
b) Hàm số có tập xác định là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 4 \right\}\).
Ta có:
• \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ – }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ – }} \left( { – 3 + \frac{5}{{x – 4}}} \right) = – \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} \left( { – 3 + \frac{5}{{x – 4}}} \right) = + \infty \)
Vậy \(x = 4\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.
• \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( { – 3 + \frac{5}{{x – 4}}} \right) = – 3;\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \left( { – 3 + \frac{5}{{x – 4}}} \right) = – 3\)
Vậy \(y = – 3\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.
c) Hàm số có tập xác định là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\).
Ta có:
• \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ – }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ – }} \frac{{3{\rm{x}} – 7}}{{{x^2}}} = – \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{3{\rm{x}} – 7}}{{{x^2}}} = – \infty \)
Vậy \(x = 0\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.
• \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{3{\rm{x}} – 7}}{{{x^2}}} = 0;\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \frac{{3{\rm{x}} – 7}}{{{x^2}}} = 0\)
Vậy \(y = 0\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.
d) Hàm số có tập xác định là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\).
Ta có:
• \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} \frac{{ – 2{{\rm{x}}^2} + 1}}{{{x^2} – 2{\rm{x}} + 1}} = – \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{ – 2{{\rm{x}}^2} + 1}}{{{x^2} – 2{\rm{x}} + 1}} = – \infty \)
Vậy \(x = 1\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.
• \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ – 2{{\rm{x}}^2} + 1}}{{{x^2} – 2{\rm{x}} + 1}} = – 2;\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \frac{{ – 2{{\rm{x}}^2} + 1}}{{{x^2} – 2{\rm{x}} + 1}} = – 2\)
Vậy \(y = – 2\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.